误差理论实际应用公式

2024-05-12 15:48:04

————摘自费业泰《误差理论与数据处理》

一、直接测量值的误差

真误差：δ=li−L\delta=l_i-Lδ=li−L （往往不可得）
残余误差：vi=li−lˉv_i=l_i-\bar{l}vi=li−lˉ
其中，lil_ili为第I次测量值，L为真值，lˉ\bar{l}lˉ为n次测量平均值

贝塞尔公式：
σ=∑1nvi2n−1\sigma=\sqrt{\frac{\sum\limits_1^n{v_i^2}}{n-1}}σ=n−11∑nvi2
用于求单次测量的标准差估计值，衡量一次测量的精度或不确定程度。

多次测量平均值的标准差：σxˉ=σn\sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt n}σxˉ=nσ

二、间接测量值的误差

形式：y=f(x1,x2,x3,...,xn)y=f(x_1,x_2,x_3,...,x_n)y=f(x1,x2,x3,...,xn)
其中，y为间接测量值，xix_ixi为直接测量值
系统误差：Δy=∂f∂x1Δx1+∂f∂x2Δx2+...+∂f∂xnΔxn\Delta y=\frac{\partial f}{\partial x_1}\Delta x_1+ \frac{\partial f}{\partial x_2}\Delta x_2+...+ \frac{\partial f}{\partial x_n}\Delta x_nΔy=∂x1∂fΔx1+∂x2∂fΔx2+...+∂xn∂fΔxn

随机误差的标准差：σy=(∂f∂x1)2σx12+(∂f∂x2)2σx22+...+(∂f∂xn)2σxn2\sigma_y=\sqrt{(\frac{\partial f}{\partial x_1})^2\sigma_{x_1}^2+ (\frac{\partial f}{\partial x_2})^2\sigma_{x_2}^2+...+ (\frac{\partial f}{\partial x_n})^2\sigma_{x_n}^2 }σy=(∂x1∂f)2σx12+(∂x2∂f)2σx22+...+(∂xn∂f)2σxn2要求：各测量值的随机误差不相关；

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