方差概念及计算公式

一.方差的概念与计算公式

例1两人的5次测验成绩如下：

X： 50，100，100，60，50E(X )=72 ；

Y： 73， 70， 75，72，70E(Y )=72 。

平均成绩相同，但 X不稳定，对平均值的偏离大。 方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

单个偏离是

X-E(X)

消除符号影响

方差即偏离平方的均值，记为D(X ):

TOC \o "1-5" \h \z D(X) =-

直接计算公式分离散型和连续型，具体为：

x-iX-1

■to+w

D(X)二 f (x-E(X))2j，(x)dx- f (x-^)2f(x)dx

这里超(￡ 是一个数。推导另一种计算公式

D(X) = E(X亍- 2pX + /I E(X\ - 2曲X} +卩=E(X2) - 2妞只+= E(X亏一 /

得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即

D(X) = E(X2，)-(E(Xy)2

其中

5

0

+?

境祷)=工财如E〈X\

=1 r (g

JT-)

—?

分别为离散型和连续型计算公式。一称为标准差或均方差，方差描述波动程度。

二?方差的性质

?设C为常数，则D(C) = 0 (常数无波动)；

? D(CX)= C2 D(X)(常数平方提取)；

证：

D(CX) = E\CX -= C2E[X -= C2D(X)

特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2 X ) = 4 D(X )(方差无负值)

?若X、丫相互独立，则

证：记

Eg =関 ￡(Z) = cr

则

虬n)+(y-e冋

=&[d#)打+町(_b]+珂 3—y 力]

前面两项恰为 D(X )和D(Y )，第三项展开后为

-咽'(F)-血(X) + 口口 = E(XY) - E{X)E(Y} I

当X、丫相互独立时，

欽貯)=

故第三项为零。

特别地

D(X-Y) = D(X) + D(F) D(X + C) = D(X)

独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

三?常用分布的方差

1 ?两点分布

2?二项分布

X ~ B( n, p )

引入随机变量 Xi (第i次试验中 A岀现的次数，服从两点分布)

X 二士应 D3J = pq .. D(￡ =壬 D^y = npq

3 .泊松分布(推导略)

Eg = A D(X) = A

4?均匀分布

TOC \o "1-5" \h \z \o "Current Document" E(X)二丄 @ 4■册 八如)]2

■4-4&* 齐-■

￡(X2)= f x2/(x^x= |—z2/W^ = -(^2 +处 + 沪)

z g f z ◎ + b、 1,11 z m+乞“ 1 ,, 宀

D(X)=-—dx = -—(工_〉记二(必一亦尸

h2 b — a b — a 521Z

a.

?指数分布(推导略)

W = J D(X)q

.正态分布(推导略)

X~Ng0)E(X)二" g)"

正态分布的后一参数反映它与均值'的偏离程度，即波动程度(随机波动)，这与图形的特征 是相符的。

例2求上节例2的方差。

解根据上节例2给出的分布律，计算得到

E(X) = } 3 ￡(JTa)= 0.3+0.8 + 18^ 2.9 D(JO = 1.21

￡(r)= l 2 ￡(y2)= 0.2+20+0= 2.2 D(Y} = 0.76

求均方差。均方差的公式如下：(xi为第i个元素)。

S = ((x1-x的平均值)A2 + (x2-x的平均值)A2+(x3-x的平均值)人2+...+仪n-x的平均值)A2)/n)的 平方根

大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的

稳定性。就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。由实际推断原理，在实际 应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。

用matlab或c语言编写求导程序

已知电容电压uc,电容值

求电流i

公式为 i=c(duc/dt)

怎样用matlab或c语言求解

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