原标题：纯循环连分数 与 二次方程的根

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先简单回顾一下连分数。比如一个分数(有理数)可以写成连分数的形式。以69/25为例：

简写成部分商的形式，就是：[2, 1, 3, 6]。这个连分数的表达形式是唯一的。这是因为我们让每条分数线上的数字都为“1”。

但是，哪怕一个最简单的无理数根号2，它的连分数展示也是无穷无尽的：

简写成部分商的形式，就是：[1, 2, 2, 2, ··· ]。

可以按照下面的方法把根号2展为连分数的形式：

我们发现，根号2的连分数中，除第一个部分商“1”以外，其他部分商都是2，即2循环了起来，且循环到无穷。

我们不加证明地给出结论：一个有理数可以写成有限简单连分数的形式(“有限”是指一定会在某一步后不能再分解。所谓“简单”是指分数线上的数字都是“1”)；一个二次无理数(含有开平方的数，比如√2；(1+√5)/2，其中根号下的数不是完全平方数 )可以写成无限循环连分数的形式(无限与上面的有限相对；“循环”是指从某个部分商开始产生循环节，有些类似小数循环节)。反之亦然。

比如：

√3 = [1,1,2, 1, 2, 1, 2, ··· ]；

√15 = [3,1,6, 1, 6, 1, 6, ··· ]；

(5+√37)/3 = [3,1,2,3, 1, 2, ··· ]。(这个从第一个部分商就开始循环的连分数叫做纯循环连分数。)

(还有一些无理数，比如e,π，是超越数，它们可以表示为无限不循环连分数。有关连分数更加详细的内容，我两年前大概讲过一些，可读！)

有了这些知识回顾， 我们下面讲一个有趣的事情，它发生在数学的深层结构。

我们有一个纯循环连分数

a=[ 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3,··· ]

它肯定是一个二次无理数。但我们如何求出这个二次无理数呢？您可以想一想，如果一个连分数是有限连分数，那么我们可以从最远处，逆向一步步把这个连分数转变为一个分数。但是，纯循环连分数是无穷的，我们根本不可能从无穷远开始往回走，就像我们不可能先跳到未来再往回走。对无穷连分数进行任何截断，得到的都将是近似值。我们必须另想办法。

我们试着写出这个连分数，便会有所发现：

这时，上式在形式上就变成了有限连分数。其实，它是一个含有一个未知量a的代数方程。为什么呢？请看：

这是一个整系数二次方程。(注意，不管上面的形式连分数有多长，连分数的右侧总能化为两个整系数一次式的比值，从而，连分数最终一定是化为一元二次方程。即，“两头”为同一未知数的形式连分数一定等价于一个整系数一元二次方程。这也印证了前面那个未加证明的结论，结论中说到“二次”无理数而不是“三次”或其他次。)也可以说，a是二次方程

的根。

由二次方程的求根公式可以求出二次方程(1)的根a(a>1)：

即我们找到了如(2)式给出的一个二次无理数。

好的，再来看下面这个连分数：

b=[ 3, 2, 1, 3, 2, 1, 3, 2, 1,···]

它也是一个纯循环连分数，它的“循环节”正好是a的“循环节”的逆顺序。对b进行类似对a进行的连分数运算：

也得到一个二次方程。也可以说，b是方程

的根。同样，可以利用二次方程求根公式求出b：

因为b>1，把(4)式两边同时除以b的平方的相反数“－b^2” ：

从(7)式看出，“－1/b”是方程(3)的根。即，“－1/b”和a都是方程(3)的根。并且显然，－1/b≠a。且a>1； －1< －1/b<0。二次方程最多有两个根，所以， “－1/b”和a就是方程(3)的两个根了。因为二次方程若有无理根，则两个根均为无理根，且两个无理根共轭。所以，由一个根为：

一定可以得出另一个根为：

我们下面从(9)式解出b，验证一下它是不是就是我们前面(6)式的b。

正确。

从上面一系列操作，我们发现，若两个纯循环简单连分数的“循环节”长度相等且顺序相反，则一个连分数所表示的二次无理数与另一个连分数所表示的二次二理数的负倒数，正好就是某个整系数一元二次方程的两个根，且这两个根是共轭的。这两个根，一个大于1的，另一个位于 －1与0之间。上面的a与b就是这样的两个连分数。

反之，若一个整系数二次方程有两个无理数根，一个大于1，另一个位于-1与0之间，则一个根的连分数形式与另一个根的负倒数的连分数形式都是纯循环简单连分数，且两个连分数的循环节相等，顺序相反。比如，二次方程

它的两个无理根为：

其中，

x1的连分数形式与x2的负倒数的连分数形式如下所示，它们都是纯循环简单连分数，且循环节长度相等，顺序相反。

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