欧氏空间

$V$是$\mathbb{R}$上的线性空间，定义映射

$$

\sigma: V\times V \to \mathbb{R}

$$

对于$\alpha, \beta \in V$，将$\sigma(\alpha, \beta)$记为$\left$，若$\sigma$满足：对称性：$\left=\left$

(右)齐次性：$\left=k\left$

(右)可加性：$\left=\left+\left$

非负性：$\left≥0$，且$\left=0\Leftrightarrow\alpha=0$

则称$\sigma$为$V$上的(实)内积，当$V$是有限维时，称其为欧氏空间($\mathbb{R}^n$为标准欧氏空间)

实际上$\alpha$是一个向量，$\beta$是一个向量，$\left$表示向量$\alpha$与向量$\beta$的内积，结果是一个实数

实内积的性质(左)齐次性：$\left=k\left$

(左)可加性：$\left=\left+\left$

$\left=k_1\left+···k_s\left$

$\left=k_1\left+···k_s\left$

复内积

$V$是$\mathbb{C}$上的线性空间，定义映射

$$

\sigma: V\times V \to \mathbb{C}

$$

对于$\alpha, \beta \in V$，将$\sigma(\alpha, \beta)$记为$\left$，若$\sigma$满足：共轭对称性：$\left=\overline{\left}$

(右)齐次性：$\left=k\left$

(右)可加性：$\left=\left+\left$

非负性：$\left≥0$，且$\left=0\Leftrightarrow\alpha=0$

则称$\sigma$为$V$上的(复)内积，当$V$是有限维时，称其为酉空间($\mathbb{R}^n$为标准欧氏空间)

复内积的性质(左)齐次性：$\left=\bar{k}\left$

(左)可加性：$\left=\left+\left$

$\left=\overline{k_1}\left+···\overline{k_s}\left$

$\left=k_1\left+···k_s\left$

线性组合的内积的矩阵表示

$\alpha_1,...,\alpha_s;\beta_1,...,\beta_t$是$\mathbb{C}$上的内积空间$V$中的两个向量组，则

$$

\begin{aligned}

\left\\

=(\overline{k_1},...,\overline{k_s})\begin{bmatrix}\left&\cdots &\left\\ \vdots & \ddots &\vdots \\\left &\cdots & \left\end{bmatrix}\begin{bmatrix}l_1\\ \vdots \\ l_t\end{bmatrix}

\end{aligned}

$$

Gram矩阵

$\alpha_1,...,\alpha_s;\beta_1,...,\beta_t$是$\mathbb{C}$上的内积空间$V$中的两个向量组，则

$$

\begin{bmatrix}\left&\cdots &\left\\ \vdots & \ddots &\vdots \\\left &\cdots & \left\end{bmatrix}

$$

称为$\alpha_1,...,\alpha_s;\beta_1,...,\beta_t$的协Gram矩阵，记为$G(\alpha_1,...,\alpha_s;\beta_1,...,\beta_t)$

$\alpha_1,...,\alpha_s$是$\mathbb{C}$上的内积空间$V$中的一个向量组，则

$$

\begin{bmatrix}\left&\cdots &\left\\ \vdots & \ddots &\vdots \\\left &\cdots & \left\end{bmatrix}

$$

称为$\alpha_1,...,\alpha_s$的Gram矩阵，记为$G(\alpha_1,...,\alpha_s)$

$\alpha_1,...,\alpha_s$是$\mathbb{C}^n$中的一个向量组，记$A=(\alpha_1,...,\alpha_s)$，则

$$

G(\alpha_1,...,\alpha_s)=A^HA

$$

其中，$A^H=(\bar{A})^T=\overline{(A^T)}$

$\alpha_1,...,\alpha_s$是$\mathbb{R}^n$中的一个向量组，记$A=(\alpha_1,...,\alpha_s)$，则

$$

G(\alpha_1,...,\alpha_s)=A^TA

$$

$\alpha_1,...,\alpha_s;\beta_1,...,\beta_t$是$\mathbb{C}$上的内积空间$V$中的两个向量组，如果$\alpha_1,...,\alpha_s$可由$\beta_1,...,\beta_t$线性表出，且

$$

(\alpha_1,...,\alpha_s)=(\beta_1,...,\beta_t)A

$$

则

$$

G(\alpha_1,...,\alpha_s)=A^HG(\beta_1,...,\beta_t)A

$$

Gram矩阵的性质$Rank(G)=rank(\alpha_1,...,\alpha_s)$

Hermite性：$G^H=G$

非负性：$\forall x\in \mathbb{C}^s$，复二次型$x^HGx≥0$，并且$G$正定$\Leftrightarrow \alpha_1,...,\alpha_s$线性无关