点积 dot product

点积是针对向量而言的。

我们可以理解为维度[n,1]或者[1,n]，一维的矩阵。

在python中，我们设置一个array，查看其shape：

>>> import numpy as np

>>> a = np.array([1,2,3,4,5])

>>> a

array([1, 2, 3, 4, 5])

>>> a.shape

(5,)

可以看到维度是(5, )，并不是(5,1)或者(1,5)。

这东西刚接触的时候很容易搞不清楚。我的理解是，python把这个认定为是向量。

而向量的5其实在空间中可以认为是5个维度的意思，每个维度上有一个值。

而两个向量的点积：

>>> b = np.array([2,2,3,3,1])

>>> b

array([2, 2, 3, 3, 1])

>>> b.shape

(5,)

>>> c = np.dot(a,b)

>>> c

32

就是每个元素相乘之后求和。

乘积 product

乘积的概念是针对矩阵来说的。

所以需要满足维度匹配才可以进行乘积，即矩阵乘法。

前面矩阵的列元素个数，需要等于后面矩阵行元素个数。

即维度 [n , m] 和 [m , k] 这两个矩阵才可以乘积。

>>> d = np.matrix([[1,2,3],[2,3,4]])

>>> d

matrix([[1, 2, 3],

[2, 3, 4]])

>>> e = np.matrix([[1,2],[2,3],[4,5]])

>>> e

matrix([[1, 2],

[2, 3],

[4, 5]])

>>> f = np.dot(d,e)

>>> f

matrix([[17, 23],

[24, 33]])

[2 , 3] 的矩阵和 [3 , 2] 的矩阵乘积得到一个 [2 , 2] 的矩阵。

另外，我们不用 matrix 而改用 array 也是可以的：

>>> d_2 = np.array([[1,2,3],[2,3,4]])

>>> d_2

array([[1, 2, 3],

[2, 3, 4]])

>>> e_2 = np.array([[1,2],[2,3],[4,5]])

>>> e_2

array([[1, 2],

[2, 3],

[4, 5]])

>>> f_2 = np.dot(d_2,e_2)

>>> f_2

array([[17, 23],

[24, 33]])

区别

如果我们把两个 array 扩展一个维度出来：

>>> a

array([1, 2, 3, 4, 5])

>>> a_reshape = a.reshape([5,1])

>>> a_reshape

array([[1],

[2],

[3],

[4],

[5]])

>>> a_reshape.shape

(5, 1)

这个时候 array 维度变了。

>>> b

array([2, 2, 3, 3, 1])

>>> b_reshape = b.reshape([5,1])

>>> b_reshape

array([[2],

[2],

[3],

[3],

[1]])

>>> b_reshape.shape

(5, 1)

>>> a_b = np.dot(a,b)

>>> a_b

32

有意思的是，这里(5,1)和(5,1)的维度可以直接做乘积。这应该是python为了便利而扩展的功能吧。

如果我们把b的维度变为 (1,5)，结果还是一样的：

>>> b_reshape_2 = b.reshape([1,5])

>>> a_b_2 = np.dot(a,b)

>>> a_b_2

32

>>> b_reshape_2.shape

(1, 5)

如果乘积中一个矩阵超过了一维，那就要做维度匹配了。

原文链接:https://blog.csdn.net/qq_42067550/article/details/105041432