gram矩阵的性质_线性代数（十五）标准正交基（Orthonormal Bases）和Gram-Schmidt正交化...

本节讲述什么是标准正交基、为什么需要标准正交基以及如何获得标准正交基。

标准正交基需要两个要素：正交(orthogonal 垂直)和标准（normal 长度为1）。如果只是正交的基，而向量长度不为1，则称为orthogonal bases。

定义：如果向量

是标准正交(orthonormal)的，则有

为什么要标准正交？

是回想平面直角坐标系

-plane，它的基是

完美符合标准正交基的上述要求。

首先，我们在绘图和理解的时候有优势。因为每条轴都相互垂直，互不干扰。（加密通话大雾）

性质一

其次，把这些列向量写成矩阵的形式可得

然后

就是单位矩阵

了，

，这对缩减计算量很有帮助。如果本身已经是对角矩阵感知不强的话，不如试试旋转矩阵Rotation Matrix

和permutation matrix。

此处的

向量不要求必须是方阵

。（若要证明

只需要把

矩阵拆写成列向量乘以行向量的形式就能得到。）

如果不是标准正交基，而只有正交，那么

的结果就是对角矩阵(diagonal matrix)，但不是单位矩阵(

for identity matrix)。

性质二

因为

且

所以

这是判断标准正交基或者说标准正交矩阵(orthonormal matrix)的方法。用下面的例子验证一下：

反射矩阵：假设有一个单位向量

要把目标沿着

镜像，就要用到

首先这是个对称矩阵(symmetric matrix)，因此

接着因为把某向量沿着

镜像一次和镜像回去

的结果完全相同，因此可知

注意，反射矩阵的操作比较特殊，而正常的标准正交矩阵没有

这样的操作，更不要说去证明

了。

性质三把向量投影在标准正交基上

把一个向量投影在标准正交基上是一件很幸福的事，就像

计算量能大幅削减。如果把

换成

我们能得到的是

且投影矩阵(projection matrix)是

所以

当

时，

这就可以视为一种空间内的分解。

Gram-Schmidt 正交化求正交基

这个算法保证你把一对向量转化成标准正交向量，共有两大步。假设有不平行向量

我们需要先得到正交的向量

再求它们的单位向量

首先，把向量转化成正交的形式，从第二个向量起，后续的向量剥离前向量包括的“维度“。从

开始，也就是说，我们要把

减掉它在

中的投影

以此类推，

必须剥离已经被用过的两个维度，即

然后，我们求出

的单位向量就可以了。

A=QR分解

可以把Gram-Schmidt正交化理解为一种分解，对于这三个向量的矩阵

写成QR分解的形式。

矩阵曾经提到过，它是上三角矩阵。

Reference

Strang, G. (2019).Introduction to linear algebra(Fifth ed.).

往期回顾：

Jerry：线性代数（十四）最小二乘

Jerry：线性代数（十三）投影

Jerry：线性代数（十二）四个子空间的正交性

Jerry：线性代数（十一）四个子空间的维度

Jerry：线性代数（十）Ax=b的完整解

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