【LeetCode】279. 完全平方数 【动态规划】【四平方和定理】
题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/
题目介绍
给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。
给你一个整数 n ，返回和为 n 的完全平方数的 最少数量 。
完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。
测试用例
示例 1：
输入：n = 12
输出：3
解释：12 = 4 + 4 + 4示例 2：
输入：n = 13
输出：2
解释：13 = 4 + 9提示：
1 <= n <= 10^4
题解
方法一：动态规划
用dp[i]表示最少需要多少个数的平方来表示整数 i。
这些数必然落到区间
。可以用枚举的方式找到这些数，当枚举到 j 时，然后再去判断
。这就变成了一个子问题。状态方程可表示为：
其中dp[0] = 0为边界条件。
时间复杂度：
空间复杂度：
方法二：四平方和定理
四平方和定理证明了任意一个正整数都可以被表示为至多四个正整数的平方和。
- 当满足
时，n 只能被表示为四个正整数的平方和，此时直接返回4.
- 当 n 是完全平方数时，放回 1.
- 当 n 可以表示为两个数的平方和时，返回 2。这一点，可以通过枚举来判断。
- 当 n 可以表示为三个数的平方和时，返回 3。但这个很难在较优的时间复杂度内解决，但根据“四平方和定理”，排除前三种情况之后，即为这种情形。
时间复杂度：
空间复杂度：
代码
// 方法一：动态规划
class Solution {public int numSquares(int n) {int[] dp = new int[n + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {int minn = Integer.MAX_VALUE;for (int j = 1; j * j <= i; j++) {minn = Math.min(minn, dp[i - j * j]);}dp[i] = minn + 1;}return dp[n];}
}// 方法二：四平方和定理
class Solution {public int numSquares(int n) {if (isSquareNumber(n)) {return 1;}if (isSquare4(n)) {return 4;}for (int i = 1; i * i <= n; i++) {if (isSquareNumber(n - i * i)) {return 2;}}return 3;}// 判断是否是完全平方数boolean isSquareNumber(int n) {int sq = (int) Math.sqrt(n);return sq * sq == n;}// 判断是否能表示为 4^k * (8m + 7)boolean isSquare4(int n) {while (n % 4 == 0) {n /= 4;}return n % 8 == 7;}
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