279完全平方数（四平方定理、递归、动态规划）

1、题目描述

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

2、示例

输入: n = 12
输出: 3
解释: 12 = 4 + 4 + 4.

3、题解

解法一：

基本思想：递归，通过递归找出所有的可能，最优解赋值给res

解法二：

基本思想：数学，四平方和定理，时间复杂度O(sqrt(n))空间复杂度O(1)
1、任何正整数都可以拆分成不超过4个数的平方和 ---> 答案只可能是1,2,3,4
2、如果一个数最少可以拆成4个数的平方和，则这个数还满足 n = (4^a)*(8b+7) ---> 因此可以先看这个数是否满足上述公式，如果不满足，答案就是1,2,3了
3、如果这个数本来就是某个数的平方，那么答案就是1，否则答案就只剩2,3了
4、如果答案是2，即n=a^2+b^2，那么我们可以枚举a，来验证，如果验证通过则答案是2
5、只能是3

解法三：

基本思想：动态规划，dp[n]表示数字n需要最少的完全平方数组成，则dp[n]=1+min(dp[n-1*1],dp[n-2*2],dp[n-3*3]...dp[n-k*k])，时间复杂度O(n*sqrt(n))空间复杂度O(n)


#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<math.h>
using namespace std;
class Solution {
public:int numSquares(int n) {//简化版：四平方和定理，牛顿18岁时的定理，组成一个正整数的完全平方数的个数小于等于4int i=sqrt(n);if(i*i==n)return 1;for(i=1;i*i<n;i++){int j=pow(n-i*i,0.5);if(i*i+j*j==n)return 2;}for(i=1;i*i<n;i++){for(int j=1;j*j+i*i<n;j++){int k=pow(n-i*i-j*j,0.5);if(i*i+j*j+k*k==n)return 3;}}return 4;}
};
class Solution1 {
public:int res=9999;int numSquares(int n) {//基本思想：递归，通过递归找出所有的可能，最优解赋值给resint cnt=0;Recursion(n,cnt);return res;}void Recursion(int n,int cnt){if(cnt>res)return;if(n==0){if(cnt<res)res=cnt;return;}int cur=sqrt(n);for(int i=cur;i>=cur/2;i--){Recursion(n-i*i,cnt+1);}return;}
};
class Solution2 {
public:int numSquares(int n) {//基本思想：数学，四平方和定理//时间复杂度O(sqrt(n))空间复杂度O(1)/*1、任何正整数都可以拆分成不超过4个数的平方和 ---> 答案只可能是1,2,3,42、如果一个数最少可以拆成4个数的平方和，则这个数还满足 n = (4^a)*(8b+7) ---> 因此可以先看这个数是否满足上述公式，如果不满足，答案就是1,2,3了3、如果这个数本来就是某个数的平方，那么答案就是1，否则答案就只剩2,3了4、如果答案是2，即n=a^2+b^2，那么我们可以枚举a，来验证，如果验证通过则答案是25、只能是3*/while (0 == n % 4)n /= 4;if (7 == n % 8)return 4;for (int i = 0; i * i < n; ++i) {int j = pow(n - i * i, 0.5);if (n == i * i + j * j)return !!i + !!j;}return 3;}
};
class Solution3 {
public:int numSquares(int n) {//基本思想：动态规划，dp[n]表示数字n需要最少的完全平方数组成，则dp[n]=1+min(dp[n-1*1],dp[n-2*2],dp[n-3*3]...dp[n-k*k])//时间复杂度O(n*sqrt(n))空间复杂度O(n)vector<int> dp(n+1,0);for(int i=1;i<=n;i++){int minval=INT_MAX;for(int j=1;j*j<=i;j++){minval=min(minval,dp[i-j*j]);}dp[i]=1+minval;}return dp[n];}
};
int main()
{Solution solute;int n=64352;cout<<solute.numSquares(n)<<endl;return 0;
}

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