一、简介
二、无向图
- 1. 相关术语
- 2. 存储结构
- - 1. 邻接矩阵
  - 2. 邻接表
- 3. 无向图的实现
- 4. 加权无向图
- - ① 加权无向图边的表示
  - ② 加权无向图的实现
三、有向图
- 1. 相关术语
- 2. 有向图的实现
- 3. 加权有向图
- - ① 加权有向图边的表示
  - ② 加权有向图的实现
四、图的遍历
- 1. 深度优先搜索
- 2. 广度优先搜索
五、路径查找

一、简介

定义：
图是由一组顶点和一组能够将两个顶点相连的边组成的

二、无向图

若E是无向边(简称边)的有限集合时，则图G为无向图。边是顶点的无序对，记为(v, w)或(w,v),因为(v,w)=(w,v), 其中v,w是顶点。可以说顶点w和顶点v互为邻接点。边(v, w)依附于顶点w和v，或者说边(v, w)和顶点v, w相关联。

图所示的无向图G2可表示为

1. 相关术语

相邻顶点：

当两个顶点通过一条边相连时，我们称这两个顶点是相邻的，并且称这条边依附于这两个顶点

度：

某个顶点的度就是依附于该顶点的边的个数

子图：

是一幅图的所有边的子集(包含这些边依附的顶点)组成的图

路径：

是由边顺序连接的一系列的顶点组成

环：

是一条至少含有一条边且终点和起点相同的路径

连通图：

如果图中任意一个顶点都存在一条路径到达另外一个顶点，那么这幅图就称之为连通图

连通子图：

一个非连通图由若干连通的部分组成，每一个连通的部分都可以称为该图的连通子图

2. 存储结构

要表示一幅图，只需要表示清楚以下两部分内容即可：

图中所有的顶点
所有连接顶点的边

常见的图的存储结构有两种：邻接矩阵和邻接表

1. 邻接矩阵

使用一个V * V的二维数组int[V][V] adj,把索引的值看做是顶点；
如果顶点v和顶点w相连，我们只需要将adj[v][w]和adj[w][v]的值设置为1,否则设置为0即可。

很明显，邻接矩阵这种存储方式的空间复杂度是V^2的，如果我们处理的问题规模比较大的话，内存空间极有可能不够用。

2. 邻接表

使用一个大小为V的数组 Queue[V] adj，把索引看做是顶点；
每个索引处adj[v]存储了一个队列，该队列中存储的是所有与该顶点相邻的其他顶点

很明显，邻接表的空间并不是是线性级别的，所以大多数情况下都采用邻接表这种存储形式来表示图。

3. 无向图的实现

无向图API设计

import java.util.LinkedList;public class Graph {// 顶点数目private final int V;// 边的数目private int E;// 邻接表private LinkedList<Integer>[] adj;public Graph(int V){// 初始化顶点数量this.V = V;// 初始化边的数量this.E = 0;// 初始化邻接表this.adj = new LinkedList[V];for (int i = 0; i < adj.length; i++) {adj[i] = new LinkedList<Integer>();}}// 获取顶点数目public int V(){return V;}// 获取边的数目public int E(){return E;}// 向图中添加一条边 v-wpublic void addEdge(int v, int w) {// 在无向图中，边是没有方向的，所以该边既可以说是从v到w的边，又可以说是从w到v的边，// 因此，需要让w出现在v的邻接表中，并且还要让v出现在w的邻接表中adj[v].add(w);adj[w].add(v);// 边的数量+1E ++;}// 获取和顶点v相邻的所有顶点public LinkedList<Integer> adj(int v){return adj[v];}
}

4. 加权无向图

加权无向图是一种为每条边关联一个权重值或是成本的图模型。这种图能够自然地表示许多应用。在一副航空图中，边表示航线，权值则可以表示距离或是费用。在一副电路图中，边表示导线，权值则可能表示导线的长度即成本，或是信号通过这条先所需的时间。

在下图中，从顶点0到顶点4有三条路径，分别为0-2-3-4,0-2-4,0-5-3-4,那我们如果要通过那条路径到达4顶点最好呢？此时就要考虑，那条路径的成本最低。

① 加权无向图边的表示

加权无向图中的边我们就不能简单的使用v-w两个顶点表示了，而必须要给边关联一个权重值，因此我们可以使用对象来描述一条边。

API设计

public class Edge implements Comparable<Edge> {// 顶点一private final int v;// 顶点二private final int w;// 当前边的权重private final double weight;// 通过顶点v和w，以及权重weight值构造一个边对象public Edge(int v, int w, double weight) {this.v = v;this.w = w;this.weight = weight;}// 获取边的权重值public double weight(){return weight;}// 获取边上的一个点public int either(){return v;}// 获取边上除了顶点vertex外的另外一个顶点public int other(int vertex){if (vertex == v){return w;}else{return v;}}@Overridepublic int compareTo(Edge that) {/*如果当前边的权重值大 return 1如果当前边的权重值小 return -1如果权重值一样大    return 0*/return Double.compare(this.weight, that.weight);}
}

② 加权无向图的实现

之前我们已经完成了无向图，在无向图的基础上，我们只需要把边的表示切换成Edge对象即可。

API设计

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;public class EdgeWeightedGraph {// 顶点总数private final int V;// 边的总数private int E;// 邻接表private Queue<Edge>[] adj;// 创建一个含有V个顶点的空加权无向图public EdgeWeightedGraph(int V) {// 初始化顶点数量this.V = V;// 初始化边的数量this.E = 0;// 初始化邻接表this.adj = new LinkedList[V];for (int i = 0; i < adj.length; i++) {adj[i] = new LinkedList<Edge>();}}// 获取图中顶点的数量public int V() {return V;}// 获取图中边的数量public int E() {return E;}// 向加权无向图中添加一条边epublic void addEdge(Edge e) {// 需要让边e同时出现在e这个边的两个顶点的邻接表中int v = e.either();int w = e.other(v);adj[v].add(e);adj[w].add(e);// 边的数量+1E++;}// 获取和顶点v关联的所有边public Queue<Edge> adj(int v) {return adj[v];}// 获取加权无向图的所有边public Queue<Edge> edges() {// 创建一个队列对象，存储所有的边Queue<Edge> allEdges = new LinkedList<>();/* 遍历图中的每一个顶点，找到该顶点的邻接表，邻接表中存储了该顶点关联的每一条边.*/for(int v = 0; v < V; v++){// 遍历v顶点的邻接表，找到每一条和v关联的边for (Edge e : adj(v)) {/*因为这是无向图，所以同一条边同时出现在了它关联的两个顶点的邻接表中，需要让一条边只记录一次；*/if (e.other(v) < v){allEdges.add(e);}}}return allEdges;}
}

三、有向图

若E是有向边(也称弧)的有限集合时，则图G为有向图。弧是顶点的有序对，记为<v, w>，其中v,w是顶点，v称为弧尾，w称为弧头，<v,w>称为从顶点v到顶点w的弧，也称v邻接到w，或w邻接自v。

图所示的有向图 G1可表示为

1. 相关术语

定义：

有向图是一副具有方向性的图，是由一组顶点和一组有方向的边组成的，每条方向的边都连着一对有序的顶点

出度：

由某个顶点指出的边的个数称为该顶点的出度

入度：

指向某个顶点的边的个数称为该顶点的入度

有向路径：

由一系列顶点组成，对于其中的每个顶点都存在一条有向边，从它指向序列中的下一个顶点

有向环：

一条至少含有一条边，且起点和终点相同的有向路径。

一副有向图中两个顶点v和w可能存在以下四种关系：

没有边相连；
存在从v到w的边v—>w;
存在从w到v的边w—>v;
既存在w到v的边，也存在v到w的边，即双向连接；

2. 有向图的实现

有向图API设计


import java.util.LinkedList;public class Digraph {// 顶点数目private final int V;// 边的数目private int E;// 邻接表private LinkedList<Integer>[] adj;public Digraph(int V){// 初始化顶点数量this.V = V;// 初始化边的数量this.E = 0;// 初始化邻接表this.adj = new LinkedList[V];for (int i = 0; i < adj.length; i++) {adj[i] = new LinkedList<Integer>();}}// 获取顶点数目public int V(){return V;}// 获取边的数目public int E(){return E;}// 向有向图中添加一条边 v->wpublic void addEdge(int v, int w) {/*只需要让顶点w出现在顶点v的邻接表中，因为边是有方向的，最终，顶点v的邻接表中存储的相邻顶点的含义是：  v -> 其他顶点*/adj[v].add(w);E ++;}// 获取由v指出的边所连接的所有顶点public LinkedList<Integer> adj(int v){return adj[v];}// 该图的反向图private Digraph reverse(){// 创建有向图对象Digraph r = new Digraph(V);for (int v = 0; v < V; v++){// 获取由该顶点v指出的所有边// 原图中表示的是由顶点v->w的边for (Integer w : adj[v]) {// 转换指向为 w->vr.addEdge(w, v);}}return r;}
}

3. 加权有向图

上述提到的加权无向图中，边是没有方向的，并且同一条边会同时出现在该边的两个顶点的邻接表中，为了能够处理含有方向性的图的问题，我们需要使用加权有向图。

① 加权有向图边的表示

public class DirectedEdge {// 起点private final int v;// 终点private final int w;// 当前边的权重private final double weight;// 通过顶点v和w，以及权重weight值构造一个边对象public DirectedEdge(int v, int w, double weight) {this.v = v;this.w = w;this.weight = weight;}//获取边的权重值public double weight(){return weight;}// 获取有向边的起点public int from(){return v;}// 获取有向边的终点public int to(){return w;}
}

② 加权有向图的实现

之前我们已经完成了有向图，在有向图的基础上，我们只需要把边的表示切换成DirectedEdge对象即可。

API设计

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;public class EdgeWeightedDigraph {// 顶点总数private final int V;// 边的总数private int E;// 邻接表private Queue<DirectedEdge>[] adj;// 创建一个含有V个顶点的空加权有向图public EdgeWeightedDigraph(int V) {// 初始化顶点数量this.V = V;// 初始化边的数量this.E = 0;// 初始化邻接表this.adj = new LinkedList[V];for (int i = 0; i < adj.length; i++) {adj[i] = new LinkedList<DirectedEdge>();}}// 获取图中顶点的数量public int V() {return V;}// 获取图中边的数量public int E() {return E;}// 向加权有向图中添加一条边epublic void addEdge(DirectedEdge e) {// 边e是有方向的，所以只需要让e出现在起点的邻接表中即可int v = e.from();adj[v].add(e);E++;}// 获取由顶点v指出的所有的边public Queue<DirectedEdge> adj(int v) {return adj[v];}// 获取加权有向图的所有边public Queue<DirectedEdge> edges() {/*遍历图中的每一个顶点，得到该顶点的邻接表，遍历得到每一条边，添加到队列中返回即可*/Queue<DirectedEdge> allEdges = new LinkedList<>();for (int v = 0;v<V;v++){for (DirectedEdge edge : adj[v]) {allEdges.add(edge);}}return allEdges;}
}

四、图的遍历

在很多情况下，我们需要遍历图，得到图的一些性质，例如，找出图中与指定的顶点相连的所有顶点，或者判定某个顶点与指定顶点是否相通，是非常常见的需求。有关图的搜索，最经典的算法有深度优先搜索和广度优先搜索，接下来我们分别讲解这两种搜索算法。

1. 深度优先搜索

所谓的深度优先搜索，指的是在搜索时，如果遇到一个结点既有子结点，又有兄弟结点，那么先找子结点，然后找兄弟结点。

API设计

public class DepthFirstSearch {// 索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索private boolean[] marked;// 记录有多少个顶点与 s 顶点相通private int count;// 构造深度优先搜索对象，使用深度优先搜索找出 G 图中 s 顶点的所有相邻顶点public DepthFirstSearch(Graph G, int s){// 初始化marked数组this.marked = new boolean[G.V()];// 初始化跟顶点s相通的顶点的数量this.count = 0;dfs(G,s);}// 使用深度优先搜索找出G图中v顶点的所有相通顶点private void dfs(Graph G, int v){// 把v顶点标识为已搜索marked[v] = true;for (Integer w : G.adj(v)) {/*判断当前w顶点有没有被搜索过，如果没有被搜索过，则递归调用dfs方法进行深度搜索*/if (!marked[w]){dfs(G,w);}}// 相通顶点数量+1count++;}// 判断w顶点与s顶点是否相通public boolean marked(int w){return marked[w];}// 获取与顶点s相通的所有顶点的总数public int count(){return count;}
}

2. 广度优先搜索

所谓的深度优先搜索，指的是在搜索时，如果遇到一个结点既有子结点，又有兄弟结点，那么先找兄弟结点，然后找子结点。

import java.util.LinkedList;public class BreadthFirstSearch {// 索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索private boolean[] marked;// 记录有多少个顶点与s顶点相通private int count;// 用来存储待搜索邻接表的点private LinkedList<Integer> waitSearch;// 构造广度优先搜索对象，使用广度优先搜索找出 G 图中 s 顶点的所有相邻顶点public BreadthFirstSearch(Graph G, int s) {this.marked = new boolean[G.V()];this.count = 0;this.waitSearch = new LinkedList<Integer>();bfs(G,s);}// 使用广度优先搜索找出G图中v顶点的所有相邻顶点private void bfs(Graph G, int v) {// 把当前顶点v标识为已搜索marked[v] = true;// 让顶点 v 的相邻点都进入队列waitSearch.addAll(G.adj(v));// 通过循环，如果队列不为空，则从队列中弹出一个待搜索的顶点进行搜索while(!waitSearch.isEmpty()){// 弹出一个待搜索的顶点Integer wait = waitSearch.poll();if (!marked[wait]){bfs(G, wait);}}// 让相通的顶点+1；count++;}// 判断w顶点与s顶点是否相通public boolean marked(int w) {return marked[w];}// 获取与顶点s相通的所有顶点的总数public int count() {return count;}
}

五、路径查找

在实际生活中，地图是我们经常使用的一种工具，通常我们会用它进行导航，输入一个出发城市，输入一个目的地城市，就可以把路线规划好，而在规划好的这个路线上，会路过很多中间的城市。这类问题翻译成专业问题就是：从s顶点到v顶点是否存在一条路径？如果存在，请找出这条路径。

例如在上图上查找顶点0到顶点4的路径用红色标识出来,那么我们可以把该路径表示为 0-2-3-4。

public class DepthFirstPaths {// 索引代表顶点，值表示当前顶点是否已经被搜索private boolean[] marked;// 起点private int s;// 索引代表顶点，值代表从起点s到当前顶点路径上的最后一个顶点private int[] edgeTo;// 构造深度优先搜索对象，使用深度优先搜索找出G图中起点为s的所有路径public DepthFirstPaths(Graph G, int s){// 初始化marked数组this.marked = new boolean[G.V()];// 初始化起点this.s = s;// 初始化edgeTo数组this.edgeTo = new int[G.V()];dfs(G,s);}// 使用深度优先搜索找出 G 图中 v 顶点的所有相邻顶点private void dfs(Graph G, int v){// 把v表示为已搜索marked[v] = true;// 遍历顶点v的邻接表，拿到每一个相邻的顶点，继续递归搜索for (Integer w : G.adj(v)) {// 如果顶点w没有被搜索，则继续递归搜索if (!marked[w]){edgeTo[w] = v;//到达顶点w的路径上的最后一个顶点是vdfs(G,w);}}}// 判断w顶点与s顶点是否存在路径public boolean hasPathTo(int v){return marked[v];}// 找出从起点s到顶点v的路径(就是该路径经过的顶点)public ArrayList<Integer> pathTo(int v){if (!hasPathTo(v)){return null;}// 创建对象，保存路径中的所有顶点ArrayList<Integer> path = new ArrayList<>();// 通过循环，从顶点v开始，一直往前找，到找到起点为止for (int x = v; x != s; x = edgeTo[x]){path.add(x);}// 把起点s放到栈中path.add(s);Collections.reverse(path);return path;}
}

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Java数据结构-图

目录

一、简介

二、无向图

1. 相关术语

2. 存储结构

1. 邻接矩阵

2. 邻接表

3. 无向图的实现

4. 加权无向图

① 加权无向图边的表示

② 加权无向图的实现

三、有向图

1. 相关术语

2. 有向图的实现

3. 加权有向图

① 加权有向图边的表示

② 加权有向图的实现

四、图的遍历

1. 深度优先搜索

2. 广度优先搜索

五、路径查找

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