摘要：本文利用导数给出了几道反三角函数习题一种新解法，该方法可以比较方便地得到反三角函数的解析式。

关键词：导数；反三角函数；解析式

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324(2014)28-0094-02

在吉米多维奇习题集题[1]中，有几道涉及到反三角函数的题目，如：

题318作y=arcsin(sinx)的图形。

题319作y=arcsin(cosx)的图形。

题320作y=arccos(cosx)的图形。

题321作y=arctan(tanx)的图形。

不难看出，如果我们能够求得这些函数的解析式，则根据解析式很容易作出函数的图形。以题319为例，常规求解方法[2]是从siny=cosx且-■≤y≤■出发，先求出函数在

-π≤x≤0以及0≤x≤-π的解析式：

arcsin(cosx)=x+■，-π≤x≤0，-x+■，0≤x≤π. (1)

然后利用arcsin(cosx)是周期为2π的函数这一性质，求出函数在2kπ-π≤x≤2kπ以及2kπ≤x≤2kπ+π的解析式，得到：

arcsin(cosx)=x+■-2kπ， (2k-1)π≤x≤2kπ，-x+■+2kπ， 2kπ≤x≤2kπ+π (2)

在教学过程中我们发现许多学生不太能够理解为什么先分-π≤x≤0，0≤x≤π讨论，也不知道如何求得(1)式，自然也就难以导出(2)式。

本文利用导数给出该题一种新的求解方法。

记y■(x)=arcsin(cosx)，x∈(-∞，+∞).根据复合函数求导法则：

■=■=■，x≠kπ，k∈z. (3)

①当2kπ-π

■=1， x∈(2kπ-π，2kπ). (4)

将(4)式两边关于x积分得：

y■(x)=x+C■， x∈(2kπ-π，2kπ). (5)

取x=2kπ-■代入(5)式，注意到y■(2kπ-■)=0得C■=■-2kπ.因此：

y■(x)=x+■-2kπ，2kπ-π

②当2kπ

■=-1， x∈(2kπ，2kπ+π). (7)

将(7)式两边关于x积分得：

y■(x)=-x+C■， x∈(2kπ，2kπ+π). (8)

取x=2kπ+■代入(8)式，注意到y■(2kπ+■)=0得C■=■+2kπ.因此：

y■(x)=-x+■+2kπ，2kπ

综合①～②，并注意到函数y■(x)在区间(2kπ-π，2kπ)和(2kπ，2kπ+π)的端点处均连续，可得y■(x)的解析式：

arcsin(cosx)=x+■-2kπ， (2k-1)π≤x≤2kπ，-x+■+2kπ， 2kπ≤x≤2kπ+π

此即前面的(2)式。

值得指出的是我们这种解法具有一般性，也适用于求另外几个函数的解析式。例如，记：

y■(x)=arctan(tanx)，x∈(kπ-■，kπ+■). (10)

由■=■=1，x∈(kπ-■，kπ+■). (11)

两边关于x积分得：

y■(x)=x+C.x∈(kπ-■，kπ+■). (12)

取x=kπ代入(12)式知C=-kπ. 因此：

arctan(tanx)=x-kπ，x∈(kπ-■，kπ+■). (13)

参考文献：

[1]吉米多维奇.数学分析习题集[M].北京：人民教育出版社，1978：35.

[2]滕加俊.吉米多维奇数学分析习题集精选精解[M].南京：东南大学出版社，2010：34.