拉普拉斯变换的收敛域（ROC）：

定义：

在拉普拉斯变换中使被积函数收敛的复数域。

例题：

用拉普拉斯变换求解线性微分方程：

步骤：

1）用拉普拉斯变换把时域（t）转化为复数域（s）上
2）求解代数方程
3）用拉普拉斯的逆变换把复数域（s）转化为时域（t）上

步骤3讲解（拉普拉斯的逆变换）：

先求传递函数的极点（Poles)，再通过极点值将传递函数转化为易被逆变换的形式，最后进行逆变换。

例题1：

例题2：

例题：

体现了经典控制工程的基本控制理念：

通过设计不同的系统输入U(s)，然后令U(s)乘以G(s)，去配置这个系统的极点，让极点到我们希望的地方，从而达到控制系统输出x(t)的目的。

系统稳定性与极点分析：

对于一个系统，首要保持的是稳定。在分析一个系统时，首要明确分析对象。

系统稳定概念：

传递函数的极点在复平面的左半部分。

系统的状态分为：

1）不稳定；

当t趋近无穷时，x(t)也趋近无穷。

2）临界稳定；

当t趋近无穷时，|x(t)|<M。

3）稳定。

当t趋近无穷时，x(t)趋近0。

BIBO稳定：

若一个系统是BIBO稳定的，那么如果系统输入是有界的，系统输出也是有界的。（临界稳定和稳定都是BIBO稳定）

从传递函数角度分析系统稳定：

极点配置（经典控制理论的核心设计思路）：

通过设计传递函数中的D（控制器），使得传递函数的极点在复平面的左半平面。

例1：

例2：

总结： 根据传递函数的极点所在复平面的位置，判断系统的稳定性。

拉普拉斯变换的应用：

拉普拉斯变换的性质：

微分性质：

积分性质：

卷积定理：

求解方法：

1）对微、积分方程（组）作拉普拉斯变换（f(t)->F(s))；
2）把拉普拉斯变换后的方程整理为一个代数方程；
3）在代数方程里求解F(s)；
4）对F(s)作逆变换得到f(t)。

例1：微分方程

例2：边界条件微分方程

例3：变系数微分方程：

例4：积分方程

例5：实际应用——力学系统

例6：方程组

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