漫步凸分析三——凸集代数

有许多种代数运算可以保留凸性。

例如，如果CC是RnR^n中的凸集，那么所有平移操作C+aC+a和标量乘法λC\lambda C同样是凸集，其中

λC={λx|x∈C}

\lambda C=\{\lambda x|x\in C\}

从几何上看，如果λ>0\lambda>0，那么λC\lambda C就是CC伸缩λ\lambda倍得到的图像。

过原点CC的对称反射是−C=(−1)C-C=(-1)C，对于凸集CC，如果−C=C-C=C，我们就说这个凸集是对称的。这样的凸集(如果非空)一定包含原点，因为它除了包含每个向量xx和−x-x外，还包含xx与−x-x之间的线段。对称的非空凸锥是子空间(定理2.7)。

定理3.1 如果C1,C2C_1,C_2是RnR^n中的凸集，那么他们的和C1+C2C_1+C_2依然是凸集，其中

C1+C2={x1+x2|x1∈C1,x2∈C2}

C_1+C_2=\{x_1+x_2|x_1\in C_1,x_2\in C_2\}

证明：令x,yx,y是C1+C2C_1+C_2中的点，那么存在x1,y1∈C1,x2,y2∈C2x_1,y_1\in C_1,x_2,y_2\in C_2使得

x=x1+x2,y=y1+y2

x=x_1+x_2,\quad y=y_1+y_2

对于0<λ<10，我们有

(1−λ)x+λy=[(1−λ)x1+λy1]+[(1−λ)x2+λy2]

(1-\lambda)x+\lambda y=[(1-\lambda)x_1+\lambda y_1]+[(1-\lambda)x_2+\lambda y_2]

然后利用C1,C2C_1,C_2的凸性

(1−λ)x1+λy1∈C1,(1−λ)x2+λy2∈C2

(1-\lambda)x_1+\lambda y_1\in C_1,\quad (1-\lambda)x_2+\lambda y_2\in C_2

可以得出(1−λ)x+λy(1-\lambda)x+\lambda y属于C1+C2C_1+C_2。||||

我们举例说明，如果C1C_1是任意凸集，C2C_2是非负象限，那么

C1+C2={x1+x2|x1∈C1,x2≥0}={x|∃x1∈C1,x1≤x}

\begin{align*} C_1+C_2 &=\{x_1+x_2|x_1\in C_1,x_2\geq0\}\\ &=\{x|\exists x_1\in C_1,x_1\leq x\} \end{align*}

根据定理3.1，当C1C_1是凸集时，后面的集合是凸的。

根据定义，集合CC为凸意味着

(1−λ)C+λC⊂C,0<λ<1

(1-\lambda)C+\lambda C\subset C,\quad 0

我们一会儿会看到，对于凸集而言等式的情况也是成立的。一个集合KK，当且仅当对于所有λ>0\lambda>0时，λK⊂K\lambda K\subset K恒成立，那么这个集合就是凸锥，并且K+K⊂KK+K\subset K(定理2.6)。

如果C1,…,CmC_1,\ldots,C_m是凸集，那么下面的线性组合也是凸集

C=λ1C1+⋯+λmCm

C=\lambda_1C_1+\cdots+\lambda_mC_m

自然得，当λ1≥0,…,λm≥0\lambda_1\geq0,\ldots,\lambda_m\geq0并且λ1+⋯+λm=1\lambda_1+\cdots+\lambda_m=1时，上面的线性组合CC叫做C1,…,CmC_1,\ldots,C_m的凸组合，从几何上讲，我们可以将CC 看成C1,…,CmC_1,\ldots,C_m的某个混合物，例如，令C1,C2C_1,C_2分别是R2R^2中的三角形和圆盘，当λ\lambda从0到1变化时

C=(1−λ)C1+λC−2

C=(1-\lambda)C_1+\lambda C-2

从三角形变到有圆角的三角形，圆的主导地位不断增加，最终变成一个圆盘。

为了几何上更加直观，有时可以将C1+C2C_1+C_2看成所有平移x1+C2x_1+C_2的并，其中x1x_1在C1C_1上变化。

对于集合的加法和标量乘法，哪些代数法则是有效的呢？简单老说，及时不是凸的，下面的法则都是成立的

C1+C2(C1+C2)+C3λ1(λ2C)λ(C1+C2)=C2+C1=C1+(C2+C3)=(λ1λ2)C=λC1+λC2

\begin{align*} C_1+C_2 &=C_2+C_1\\ (C_1+C_2)+C_3 &=C_1+(C_2+C_3)\\ \lambda_1(\lambda_2C) &=(\lambda_1\lambda_2)C\\ \lambda(C_1+C_2) &=\lambda C_1+\lambda C_2 \end{align*}

只包含0的凸集是加法操作的恒等元素，如果集合包含的元素超过一个，那么加法逆是不存在的；通常我们可以说当C≠∅C\neq\emptyset时，0∈[C+(−C)]0\in[C+(-C)]

下面介绍的定理是集代数中依赖凸的一个重要法则，这个分配律满足实际上等价于集合CC是凸的，因为这个法则暗含着0≤λ≤10\leq\lambda\leq1时λC+(1−λ)C\lambda C+(1-\lambda)C含于CC。

定理3.2 如果CC是凸集并且λ1≥0,λ2≥0\lambda_1\geq0,\lambda_2\geq0，那么

(λ1+λ2)C=λ1C+λ2C

(\lambda_1+\lambda_2)C=\lambda_1C+\lambda_2C

证明：无论CC是否为凸集，包含⊂\subset都是成立的。从凸关系

C⊃(λ1)/(λ1+λ2))C+(λ2/(λ1+λ2))C

C\supset(\lambda_1)/(\lambda_1+\lambda_2))C+(\lambda_2/(\lambda_1+\lambda_2))C

中我们可以得出反向包含成立，这里假设λ1+λ2>0\lambda_1+\lambda_2>0，然后两边乘以λ1+λ2\lambda_1+\lambda_2即可得出。如果λ1\lambda_1或λ2\lambda_2是0，定理明显成立。||||

从这个定理我们可以得出当CC是凸集时，C+C=2C,C+C+C=3CC+C=2C,C+C+C=3C 等等。

给定RnR^n中的两个凸集C1,C2C_1,C_2，有唯一一个既含于C1C_1 又含于C2C_2的最大凸集，即C1∩C2C_1\cap C_2，还有唯一一个即包含C1C_1又包含C2C_2的最小凸集，即(C1∪C2)(C_1\cup C_2)。这个结论不知限于一对集合，对于任意的{Ci,i∈I}\{C_i,i\in I\}结论都是成立的，换句话说，在包含的自然偏序下RnR^n中所有凸集就是完备格(complete lattice)。

定理3.3 令{Ci|i∈I}\{C_i|i\in I\}是RnR^n中任意凸集组成的集合，并且令CC表示这个集合并的凸包，那么

C=∪{Σi∈IλiCi}

C=\cup\{\Sigma_{i\in I}\lambda_i C_i\}

其中这个并包含所有有限的凸组合(即选择所有系数λi\lambda_i的非负值，使得只有有限个为非零并且相加为1)。

证明：根据定理2.3，CC是所有凸组合x=μ1y−1+⋯+μmymx=\mu_1y-1+\cdots+\mu_my_m的集合，其中向量y1,…,ymy_1,\ldots,y_m属于集合CiC_i的并。实际上，我们通过取系数为非零并且来自不同集合CiC_i的向量的组合就能得到CC，因为那些系数为零的向量可以从组合中忽略掉，而且如果两个正系数的向量属于同一个集合CiC_i，用y1,y2y_1,y_2表示，那么μ1y1+μ2y2\mu_1y_1+\mu_2y_2可以用μy\mu y代替，其中μ=μ1+μ2\mu=\mu_1+\mu_2

y=(μ1/μ)y1+(μ2/μ)y2∈Ci

y=(\mu_1/\mu)y_1+(\mu_2/\mu)y_2\in C_i

因此CC就是形如

μ1Ci1+⋯+μmCim

\mu_1C_{i_1}+\cdots+\mu_mC_{i_m}

有限凸组合的并，其中i1,…,imi_1,\ldots,i_m是不同的。除了符号不一样外，它和定理中描述的并是一样的。||||

给定任意从RnR^n到RmR^m的线性变换AA，习惯上我们定义

ACA−1D={Ax|x∈C}forC⊂Rn={x|Ax∈D}forD⊂Rm

\begin{align*} AC &=\{Ax|x\in C\}\quad for\quad C\subset R^n\\ A^{-1}D &=\{x|Ax\in D\}\quad for\quad D\subset R^m \end{align*}

我们称ACAC为AA下CC的像(image)，A−1DA^{-1}D为AA下DD 的原像(inverse image)，事实证明这个操作保留凸性。(注意线性变换的逆只有在单值映射时才存在，而这里的符号A−1DA^{-1}D跟它是不同的)

定理3.4 令AA是从RnR^n到RmR^m的线性变换，那么对于RnR^n 中的所有凸集CC，ACAC是RmR^m中的凸集，对于RmR^m中的所有凸集DD，A−1DA^{-1}D是RnR^n中的凸集。

推论3.4.1 凸集CC在子空间LL上的正交投影是一个凸集。

证明：映射到LL上的正交投影是线性变换，它对每一个点xx 分配唯一的一个y∈Ly\in L使得(x−y)⊥L(x-y)\perp L。||||

定理3.4中A−1DA^{-1}D为凸的一种解释是当yy在一个凸集上变化时，联立线性方程组Ax=yAx=y的解xx也会在一个凸集上变化，如果D=K+aD=K+a，其中KK是RnR^n中的非负象限，a∈Rma\in R^m，那么A−1DA^{-1}D是向量xx的集合，它使得Ax≥aAx\geq a，即RnR^n中某个线性不等式组的解集。如果CC是RnR^n中的非负象限，那么ACAC 是向量y∈Rmy\in R^m的集合，它使得等式Ax=yAx=y 有一个解x≥0x\geq0。

定理3.5 令C,DC,D分别是Rm,RpR^m,R^p中的凸集，那么

C⊕D={x=y,z|y∈C,z∈D}

C\oplus D=\{x={y,z}|y\in C,z\in D\}

是Rm+pR^{m+p}的凸集。

定理3.5中的集合称为C,DC,D的直和(direct sum)。对于平常的和C+DC+D，其中C⊂Rn,D⊂RnC\subset R^n,D\subset R^n，如果每个向量x∈C+Dx\in C+D可以唯一地表示成x=y+zx=y+z 的形式，其中y∈C,z∈Dy\in C,z\in D，那么我们也称它为直和。对于对称凸集C−C,D−DC-C,D-D，当且仅当他们在RnR^n中的公共元素只有零向量时他们的和才是直和。(这就表明RnR^n可以表示成两个子空间的直和，一个包含CC，另一个包含DD)

定理3.6 令C1,C2C_1,C_2是Rm+pR^{m+p}的凸集，CC是向量x=(y,z)x=(y,z)的集合(其中y∈Rm,z∈Rpy\in R^m,z\in R^p)使得存在向量z1,z1z_1,z_1，他们满足(y,z1)∈C1,(y,z2)∈C2,z1+z2=z(y,z_1)\in C_1,(y,z_2)\in C_2,z_1+z_2=z，那么CC是Rm+pR^{m+p}中的凸集。

证明：令(y,z)∈C(y,z)\in C，其中z1,z2z_1,z_2如定理中所示，同样设(y′,z′),z′1,z′2(y^{'},z^{'}),z_1^{'},z_2^{'}，那么对于0≤λ≤10\leq\lambda\leq1，y′′=(1−λ)y+λy′,z′′=(1−λ)z+λz′y^{''}=(1-\lambda)y+\lambda y^{'},z^{''}=(1-\lambda)z+\lambda z^{'}，我们有

(y′′,(1−λ)z1+λz′1)(y′′,(1−λ)z2+λz′2)z′′=(1−λ)(z1=((1−λ)z1=(1−λ)(y,z1)+λ(y′,z′1)∈C1=(1−λ)(y,z2)+λ(y′,z′2)∈C2+z2)+λ(z′1+z′2)+λz′1+(1−λ)z2+λz2)

\begin{align*} (y^{''},(1-\lambda)z_1+\lambda z_1^{'}) &=(1-\lambda)(y,z_1)+\lambda(y^{'},z_1^{'})\in C_1\\ (y^{''},(1-\lambda)z_2+\lambda z_2^{'}) &=(1-\lambda)(y,z_2)+\lambda(y^{'},z_2^{'})\in C_2\\ z^{''}=(1-\lambda)(z_1&+z_2)+\lambda(z_1^{'}+z_2^{'})\\ =((1-\lambda)z_1&+\lambda z_1^{'}+(1-\lambda)z_2+\lambda z_2) \end{align*}

因此向量

(1−λ)(y,z)+λ(y′,z′)=(y′′,z′′)

(1-\lambda)(y,z)+\lambda(y^{'},z^{'})=(y^{''},z^{''})

属于CC。||||

注意到定理3.6描述的是Rm+pR^{m+p}中凸集的某个交换(commutative)和结合(associative)运算，有无限多种方法在RnR^n 上引入线性坐标系，然后相对于每个坐标系将每个向量表示成y∈Rm,z∈Rpy\in R^m,z\in R^p，每种方式可以得到定理3.6 描述的运算(如果RnR^n分解成子空间直和的方式不同，那么运算就不同)，这种类型的运算称作部分加(partial addition)，平常的加法(即形如C1+C2C_1+C_2的运算)可以看成定理3.6 中m=0m=0 的极端情况，而交(即形如C1∩C2C_1\cap C_2的运算)对应于p=0p=0。这两种极端情况之间有无限多种RnR^n中所有凸集类的部分和，每一个都是一种交换，结合二元运算。

刚刚提到的无限多种运算似乎非常随意，但是通过更特殊地考虑，我们可以列出四种运算做为自然运算。回忆一下，对于RnR^n中的每个凸集CC，在Rn+1R^{n+1} 中有一个凸锥KK包含原点并且有一个横截面是CC，即由{(1,x)|x∈C}\{(1,x)|x\in C\}生成的凸锥，这个对应关系是一对一的。这类锥KK由这样的凸锥组成，这些凸锥和半空间{(λ,x)|λ≤0}\{(\lambda,x)|\lambda\leq0\}只有唯一的公共点(0,0)(0,0)。保留Rn+1R^{n+1}中这类锥的运算对应于RnR^n中凸集的运算，Rn+1R^{n+1}变成(λ,x)(\lambda,x)的分解操作可以将我们的注意力集中到Rn+1R^{n+1}上的四种部分和运算，也就是只在xx上进行加法运算，只在λ\lambda上进行加法运算，以及两种极端情况，即在λ,x\lambda,x上同时进行加法运算，同时都不进行加法运算。这四种运算明显保留了问题中的那类凸锥KK。

现在让我们看看对于凸集而言部分和的四种运算意味着什么。假设K1,K2K_1,K_2分别对应于凸集C1,C2C_1,C_2，如果我们只对K1,K2K_1,K_2上的xx执行加法运算，当且仅当对于(1,x1)∈K1,(1,x2)∈K2(1,x_1)\in K_1,(1,x_2)\in K_2，等式x=x1+x2x=x_1+x_2恒成立时，(1,x)(1,x) 产生的KK，因此对应于KK的凸集是C=C1+C2C=C_1+C_2。如果我们对两部分都执行部分和运算，当且仅当(λ1,x1)∈K1,(λ2,x2)∈K2(\lambda_1,x_1)\in K_1,(\lambda_2,x_2)\in K_2，等式x=x1+x2,1=λ1+λ2x=x_1+x_2,1=\lambda_1+\lambda_2恒成立时，(1,x)(1,x)属于KK，因此CC是集合λ1C1+λ2C2\lambda_1C_1+\lambda_2C_2的并，其中λ1≥0,λ2≥0,λ1+λ2=1\lambda_1\geq0,\lambda_2\geq0,\lambda_1+\lambda_2=1，根据定理3.3我们知道，这实际就是conv(C1∪C2)(C_1\cup C_2)。λ,x\lambda,x上都不进行加法运算和K1,K2K_1,K_2去交集是一样的，明显对应于形式C1∩C2C_1\cap C_2。剩下的那个运算就是只在λ\lambda上进行加法运算，当且仅当(λ1,x)∈K1,(λ2,x)∈K2(\lambda_1,x)\in K_1,(\lambda_2,x)\in K_2时，其中λ1≥0,λ2≥0,λ1+λ2=1\lambda_1\geq0,\lambda_2\geq0,\lambda_1+\lambda_2=1，(1,x)∈K(1,x)\in K，因此

C=∪{λ1C1∩λ2C2|λi≥0,λ1+λ2=1}=∪{(1−λ)C1∩λC2|0≤λ≤1}

\begin{align*} C &=\cup\{\lambda_1C_1\cap\lambda_2C_2|\lambda_i\geq0,\lambda_1+\lambda_2=1\}\\ &=\cup\{(1-\lambda)C_1\cap \lambda C_2|0\leq\lambda\leq1\} \end{align*}

我们用C1#C2C_1\#C_2，运算#\#叫做逆加法(inverse addition)。

定理3.7 如果C1,C2C_1,C_2是RnR^n中的凸集，那么他们的逆和C1#C2C_1\#C_2也是凸集。

逆和是RnR^n中所有凸集的一个交换，结合二元运算，它类似于平常的加法(可以用逐点运算来表示)，为了说明这个，我们首先注意到C1#C2C_1\#C_2由所有形如

x=λx1=(1−λ)x2,0≤λ≤1,x1∈C1, x2∈C2

x=\lambda x_1=(1-\lambda)x_2,\quad 0\leq\lambda\leq1,\quad x_1\in C_1,\ x_2\in C_2

的向量xx组成。这样的表达式需要x1,x2,xx_1,x_2,x在同一条射线{αe|α>0}\{\alpha e|\alpha>0\}上，事实上，对于α1≤0,α2≤0\alpha_1\leq0,\alpha_2\leq0，我们有x1=α1e,x2=α2ex_1=\alpha_1e,x_2=\alpha_2e并且

x=[α1α2/(α1+α2)]e=(α−11+α−12)−1e

x=[\alpha_1\alpha_2/(\alpha_1+\alpha_2)]e=(\alpha_1^{-1}+\alpha_2^{-1})^{-1}e

(如果α1=0\alpha_1=0或者α2=0\alpha_2=0，那么最后那个系数可能理解为0)，实际上这里的xx只依赖与x1,x2x_1,x_2，而不是ee的选择。我们可能称它为x1,x2x_1,x_2 的逆和，用x1#x2x_1\#x_2表示，向量的逆加法是交换和结合的扩展。

C1#C2={x1#x2|x1∈C1,x2∈C2}

C_1\#C_2=\{x_1\#x_2|x_1\in C_1,x_2\in C_2\}

和C1+C2C_1+C_2是并行的。

我们讨论的所有运算明显保留了RnR^n中所有凸锥，当然除了平移运算外。因此当K1,K2,KK_1,K_2,K是凸锥时，集合K1+K2,K1#K2,conv(K1∪K2),K1∩K2,K1⊕K2,AK,A−1K,λKK_1+K_2,K_1\#K_2,\text{conv}(K_1\cup K_2),K_1\cap K_2,K_1\oplus K_2,AK,A^{-1}K,\lambda K是凸锥，正标量乘法对锥来说是很平凡的运算：对于λ>0\lambda>0，我们有λK=K\lambda K=K，由于这个原因，在这种情况下，加法和逆加法基本简化为格运算。

定理3.8 如果K1,K2K_1,K_2是包含原点的凸锥，那么

K1+K2K1#K2=conv(K1∪K2)=K1∩K2

\begin{align*} K_1+K_2 &=\text{conv}(K_1\cup K_2)\\ K_1\#K_2 &=K_1\cap K_2 \end{align*}

证明：根据定理3.3，conv(K1∪K2)(K_1\cup K_2)是(1−λ)K1+λK2(1-\lambda)K_1+\lambda K_2的并，其中λ∈[0,1]\lambda\in[0,1]，当0<λ<10时，后面那个集合变为K1+K2K_1+K_2，当λ=0\lambda=0时变为K1K_1，λ=1\lambda=1时变为K2K_2。因为0∈K1,0∈K2,K1+K20\in K_1,0\in K_2,K_1+K_2既包含K1K_1又包含K2K_2，因此conv(K1∪K2)(K_1\cup K_2)和K1+K2K_1+K_2是一致的。同样地，K1#K2K_1\#K_2是(λK1)∩(1−λ)K2(\lambda K_1)\cap(1-\lambda)K_2 的交，其中λ∈[0,1]\lambda\in[0,1]，当0<λ<10 时，后面那个集合变成K1∩K2K_1\cap K_2，当λ=0\lambda=0或λ=1\lambda=1时{0}⊂K1∩K2\{0\}\subset K_1\cap K_2，因此K1#K2=K1∩K2K_1\#K_2=K_1\cap K_2。||||

这里我们提出另一个很有趣的结构。给定RnR^n中两个不同的点x,yx,y，半线{(1−λ)x+λy|λ≥1}\{(1-\lambda)x+\lambda y|\lambda\geq1\} 可以看成光源在xx处时yy的阴影，而yy在集合CC上变化时得到半线的并就是CC的阴影，这表明对于RnR^n中任意不相交的子集C,SC,S，我们可以定义CC相对于SS的本影(umbra)为

∩x∈S∪λ≥1{(1−λ)x+λC}

\cap_{x\in S}\cup_{\lambda\geq1}\{(1-\lambda)x+\lambda C\}

CC相对于SS的半影(penumbra)为

∪x∈S∪λ≥1{(1−λ)x+λC}

\cup_{x\in S}\cup_{\lambda\geq1}\{(1-\lambda)x+\lambda C\}

如果CC是凸的，那么本影就是凸的，如果C,SC,S都是凸的，那么半影是凸的。

附：

本影(umbra):发光体（非点光源）所发出光线被非透明物体阻挡后，在屏幕（或其他物体）上所投射出来完全黑暗的区域。此处发光体的光线完全被物体阻挡，而没有任何光线到达。

半影(penumbra):天体本影周围有部分光通过的影区。呈圆锥形，顶端指向太阳。其边界同月球（或地球）、太阳相内切。在半影区内只能见到部分太阳。当月球半影扫过地球时，便发生日偏食。在影像上，半影是通过观察影像来认识物体的主要障碍，半影又称为模糊阴影。

图1

图2 本影(A)和半影(B)

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