漫步凸分析六——凸集的相对内点
根据定义，RnR^n中点x,yx,y之间的欧几里得距离是
d(x,y)=|x-y|=\langle x-y,x-y\rangle^{1/2}
函数dd(欧几里得度量)是R2nR^{2n}上的凸函数，(这个结论基于的事实是：将欧几里得范数f(z)=|z|f(z)=|z|和从R2nR^{2n}到RnR^n的线性变换(x,y)→x−y(x,y)\to x-y结合即可)RnR^n中我们熟悉的闭集(closed set)，开集(open set)，闭包(closure)和内点(interior)这些拓扑概念通常可以用向量相对于欧几里得度量收敛的形式引入，但是这种收敛等价于RnR^n 中一向量序列收敛。
下面我们将看到RnR^n中凸集的拓扑概念比其他集合都要简单。
凸函数是开集和闭集的一个重要来源，RnR^n上任意连续实值函数ff有开水平集{x|f(x)<α}\{x|f(x)和闭水平集{x|f(x)≤α}\{x|f(x)\leq\alpha\}，并且当ff是凸时这些集合也是凸的(定理4.6)。
本文中，我们将用BB表示RnR^n中的欧几里得单位球(Euclidean unit ball)：
B=\{x||x|\leq1\}=\{x|d(x,0)\leq1\}
这是一个凸集(欧几里得范数的一个水平集，欧几里得范数是连续且凸的)，对于任意a∈Rna\in R^n，圆心为aa半径为ε>0\varepsilon>0的球为
\{x|d(x,a)\leq\varepsilon\}=\{a+y||y|\leq\varepsilon\}=a+\varepsilon B
对于RnR^n上的任意集CC，与CC的距离不超过ε\varepsilon 的点xx集合是
\{x|\exists y\in C,d(x,y)\leq\varepsilon\}=\cup\{y+\varepsilon B|y\in C\}=C+\varepsilon B
因此CC的闭包cl C\text{cl}\ C和内点int C\text{int}\ C可以表示成
\begin{align*} \text{cl}\ C&=\cap\{C+\varepsilon B|\varepsilon>0\}\\ \text{int}\ C&=\{x|\exists\varepsilon>0,x+\varepsilon B\subset C\} \end{align*}
对于凸集，有一个更加方便的概念：相对内点(relative interior)，引入这个概念的原因是嵌入在R3R^3中的线段和三角形没有内点。RnR^n中凸集CC的相对内点我们用ri C\text{ri}\ C表示，当把CC看成其仿射包aff C\text{aff}\ C 的子集时，其相对内点和内点的定义一样，因此ri C\text{ri}\ C由x∈aff Cx\in\text{aff}\ C 的点组成，并且存在ε>0\varepsilon>0，使得y∈aff C,d(x,y)≤εy\in\text{aff}\ C,d(x,y)\leq\varepsilon时y∈Cy\in C。换句话说，
\text{ri}\ C=\{x\in\text{aff}\ C|\exists\varepsilon>0,(x+\varepsilon B)\cap(\text{aff}\ C)\subset C\}
显然，
\text{ri}\ C\subset C\subset \text{cl}\ C
集合差(cl C)∖(ri C)(\text{cl}\ C)\backslash(\text{ri}\ C)称为CC 的相对边界(relative boundary)，自然地，当ri=C\text{ri}=C 时，我们说CC是相对开的(relatively open)。
对于nn为凸集，根据定义aff C=Rn\text{aff}\ C=R^n，所以ri C=int C\text{ri}\ C=\text{int}\ C。
注意，当C1⊃C2C_1\supset C_2时，这就暗含了cl C1⊃cl C2,int C1⊃int C2\text{cl}\ C_1\supset \text{cl}\ C_2,\text{int}\ C_1\supset\text{int}\ C_2，但是一般情况下ri C1⊃ri C2\text{ri}\ C_1\supset \text{ri}\ C_2是不成立的。例如，如果C1C_1 是R3R^3中的立方体，C2C_2是C1C_1的某个面，ri C1\text{ri}\ C_1和ri C2\text{ri}\ C_2都非空但不相交。
根据定理仿射集是相对开的，同时是闭的。这个结论基于以下事实：仿射集是超平面的交(推论1.4.1)并且每个超平面HH可以表示成连续函数的水平集(定理1.3)：
H=\{x=(\xi_1,\ldots,\xi_n)|\beta_1\xi_1+\cdots+\beta_n\xi_n=\beta\}
另外对于任意CC
\text{cl}\ C\subset\text{cl}(\text{aff}\ C)=\text{aff}\ C
因此通过cl C\text{cl}\ C中任意两个不同点的直线完全在aff C\text{aff}\ C。
平移和RnR^n到自身一对一的仿射变换保留闭包和相对内点，事实上，这样的变换保留仿射包并且两个方向都是连续上(因为在仿射变换下向量xx像的元素是xx 元素ξj\xi_j的线性或仿射函数)。建议大家记住这个结论，因为它将会帮助我们简化证明过程。例如，如果CC是RnR^n中mm为凸集，利用推论1.6.1存在RnR^n到自身的一对一仿射变换TT将aff C\text{aff}\ C搬运到子空间的位置
L=\{x=(\xi_1,\ldots,\xi_m,\xi_{m=1},\ldots,\xi_n)|\xi_{m+1}=0,\ldots,\xi_n=0\}
这个LL可以看成RmR^m的一份拷贝，利用这种方式我们通常可以将一般的凸集问题简化为凸集是全维的情况，即，整个空间就是它的仿射包。
下面关于凸集闭包和相对内点的性质是基本的。
定理6.1 令CC是RnR^n中的凸集，令x∈ri C,y∈cl Cx\in\text{ri}\ C,y\in\text{cl}\ C，那么对于0≤λ<10\leq\lambda，(1−λ)x+λy(1-\lambda)x+\lambda y 属于ri C\text{ri}\ C(自然属于CC)。
证明：利用前面的讨论，我们可以只考虑CC是nn维的情况，这样的话ri C=int C\text{ri}\ C=\text{int}\ C。令λ∈[0,1)\lambda\in[0,1)，那么我们必须标明对于ε>0,(1−λ)x+λy+εB\varepsilon>0,(1-\lambda)x+\lambda y+\varepsilon B包含在CC中。因为y∈cl Cy\in\text{cl}\ C，所以y∈C+εBy\in C+\varepsilon B，那么对于每个ε>0\varepsilon>0
\begin{align*} (1-\lambda)x+\lambda y+\varepsilon B\subset&(1-\lambda)x+\lambda(C+\varepsilon B)+\varepsilon B\\ &=(1-\lambda)[x+\varepsilon(1+\lambda)(1-\lambda)^{-1}B]+\lambda C \end{align*}
根据假设x∈int Cx\in\text{int}\ C，所以当ε\varepsilon充分小时，后面那个集合含于(1−λ)C+λC=C(1-\lambda)C+\lambda C=C。||||
下面两个定理描述了RnR^n中所有凸集上的运算cl,ri\text{cl},\text{ri}最重要的性质。
定理6.2 令CC是RnR^n上的任意凸集，那么cl C,ri C\text{cl}\ C,\text{ri}\ C是RnR^n上的凸集且和CC有相同的仿射包，于是维数也相同。(特别地，如果C≠∅C\neq\emptyset，那么ri C≠∅\text{ri}\ C\neq\emptyset)
证明：对于任意ε\varepsilon，集合C+εBC+\varepsilon B是凸的，因为它是凸集合的线性组合。对于所有的ε>0\varepsilon>0，所有这些集合的交是cl C\text{cl}\ C，因此cl C\text{cl}\ C是凸的。cl C\text{cl}\ C的仿射包最起码和CC的仿射包一样大，因为cl C⊂aff C\text{cl}\ C\subset\text{aff}\ C，实际上它和aff C\text{aff}\ C是一样大的，ri C\text{ri}\ C的凸性是前面定理(取yy属于ri C\text{ri}\ C)的推论。为了完成证明，接下来需要说明当CC是nn维的时候n>0n>0，CC的内点非空，nn为凸集包含一个nn维单纯形(定理2.4)，然后我们需要说明这样的单纯形SS有非空内点。我们假设SS的顶点是向量(0,0,…,0),(1,0,…,0),…,(0,…,0,1)(0,0,\ldots,0),(1,0,\ldots,0),\ldots,(0,\ldots,0,1):
S=\{(\xi_1,\ldots,\xi_n)|\xi_j\geq0,\xi_1+\cdots+\xi_n\leq1\}
(如果需要的话可以进行反射变换)，但是这个单纯形有非空内点，即
\text{int}\ S=\{(\xi_1,\ldots,\xi_n)|\xi_j>0,\xi_1+\cdots+\xi_n
因此int S≠∅\text{int}\ S\neq\emptyset。||||
对于RnR^n中的任意集CC，不管凸还是非凸，法则
\text{cl}(\text{cl}\ C)=\text{cl}\ C,\quad \text{ri}(\text{ri}\ C)=\text{ri}\ C
都是成立的，下面的法则在凸的情况下才成立。
定理6.3 对于RnR^n中的任意凸集CC，cl(ri C)=cl C,ri(cl C)=ri C\text{cl}(\text{ri}\ C)=\text{cl}\ C,\text{ri}(\text{cl}\ C)=\text{ri}\ C。
证明：因为ri C⊂C\text{ri}\ C\subset C，所以cl(ri C)\text{cl}(\text{ri}\ C)含于cl C\text{cl}\ C，另一方面，给定任意的y∈cl C,x∈ri Cy\in\text{cl}\ C,x\in\text{ri}\ C(根据上面的定理当C≠∅C\neq\emptyset时这样的xx肯定存在)，位于x,yx,y 之间的线段除了yy 外(定理6.1) 完全位于ri C\text{ri}\ C内，因此y∈cl(riC)y\in\text{cl}(\text{ri}C)，这就证明了cl(ri C)=cl C\text{cl}(\text{ri}\ C)=\text{cl}\ C。因为cl C⊃C\text{cl}\ C\supset C并且cl C\text{cl}\ C和CC的仿射包是一致的，所以ri(cl C)⊃ri C\text{ri}(\text{cl}\ C)\supset\text{ri}\ C。
接下来令z∈ri(cl C)z\in\text{ri}(\text{cl}\ C)，我们将说明z∈ri Cz\in\text{ri}\ C。 令xx是ri C\text{ri}\ C中的任一点，(我们假设x≠zx\neq z，否则的话z∈ri Cz\in\text{ri}\ C定理成立)考虑通过x,zx,z的直线，对于μ>1\mu>1且μ−1\mu-1充分小，那么在这条直线上的点
y=(1-\mu)x+\mu z=z-(\mu-1)(x-z)
属于ri(cl C)\text{ri}(\text{cl}\ C)因此属于cl C\text{cl}\ C。 对于这样的一个yy，我们可以将zz表示成(1−λ)x+λy,0<λ<1(1-\lambda)x+\lambda y,0(特别地λ=μ−1\lambda=\mu^{-1})，根据定理6.1，z∈ri Cz\in\text{ri}\ C。||||
推论6.3.1 令C1,C2C_1,C_2是RnR^n中的凸集，那么当且仅当ri C1=ri C2,cl C1=cl C2\text{ri}\ C_1=\text{ri}\ C_2,\text{cl}\ C_1=\text{cl}\ C_2，这个条件等价于ri C1⊂C2⊂cl C1\text{ri}\ C_1\subset C_2\subset\text{cl}\ C_1。
推论6.3.2 如果CC是RnR^n上的凸集，那么和cl C\text{cl}\ C 有交点的开集也和ri C\text{ri}\ C有交点。
推论6.3.3 如果C1C_1是RnR^n上非空凸集C2C_2相对边界的凸子集，那么dimC1<dimC2\dim C_1。
证明：如果C1C_1和C2C_2有同样的维数，那么它相对于aff C2\text{aff}\ C_2将会有内点，但是这种点不可能含于cl(ri C2)\text{cl}(\text{ri}\ C_2)，因为ri C2\text{ri}\ C_2和C1C_1是不相交的，因此他们不可能含于cl C2\text{cl}\ C_2。||||
下面介绍的相对内点特征经常被用到，而且非常有用。
定理6.4 令CC是RnR^n中非空凸集，那么当且仅当对于每个x∈Cx\in C，存在μ>1\mu>1使得(1−μ)x+μz(1-\mu)x+\mu z属于CC时，z∈ri Cz\in\text{ri}\ C。
证明：定理中的条件意味着CC中每条以zz为端点的线段可以在zz上延长而不离开CC，如果z∈ri Cz\in\text{ri}\ C那么这明显为真。反过来，假设zz满足条件。根据定理6.2，因为ri C≠∅\text{ri}\ C\neq\emptyset，所以存在一个点x∈ri Cx\in\text{ri}\ C，令yy是CC中对应的点(1−μ)x+μz,μ>1(1-\mu)x+\mu z,\mu>1，(根据假设它是存在的)，那么z=(1−λ)x+λy,0<λ=μ−1<1z=(1-\lambda)x+\lambda y,0，因此根据定理6.1z∈ri Cz\in\text{ri}\ C。||||
推论6.4.1 令CC是RnR^n中的凸集，那么当且仅当对于每个y∈Rny\in R^n，存在ε>0\varepsilon>0使得z+εy∈Cz+\varepsilon y\in C时，z∈int Cz\in\text{int}\ C。
接下来我们考虑在凸集上执行同样的运算相对内点将如何变化的问题。
定理6.5 对于i∈Ii\in I(索引集)令CiC_i是RnR^n中的凸集，假设集合ri Ci\text{ri}\ C_i至少有一个公共点，那么
\text{cl}\cap\{C_i|i\in I\}=\cap\{\text{cl}\ C_i|i\in I\}
如果II是有限的，那么
\text{ri}\cap\{C_i|i\in I\}=\cap\{\text{ri}\ C_i|i\in I\}
证明：固定xx为任意一个含于集合ri Ci\text{ri}\ C_i交的元素，给定yy为任意一个含于集合cl Ci\text{cl}\ C_i交的元素，根据定理6.1，向量(1−λ)x+λy(1-\lambda)x+\lambda y 属于每个ri Ci,0≤λ<1\text{ri}\ C_i,0\leq\lambda，并且yy是这个向量随着λ↑1\lambda\uparrow 1时的极限，下式是成立的
\cap_i\text{cl}\ C_i\subset\text{cl}\cap_i\text{ri}\ C_i\subset\text{cl}\cap_i C_i\subset\cap_i\text{cl}\ C_i
这就建立了本定理的闭包公式，同时它也证明了∩iri Ci,∩iCi\cap_i\text{ri}\ C_i,\cap_i C_i有相同的闭包。根据推论6.3.1，最后两个集合肯定有相同的相对内点，因此
\text{ri}\cap_i C_i\subset\cap_i\text{ri}\ C_i
假设II是有限的，我们接下来证明反向包含关系，取任意z∈∩iri Ci z\in\cap_i\text{ri}\ C_i，根据定理6.4，∩iCi\cap_i C_i中任意以zz为端点的线段可以在每个集合∩iCi\cap_i C_i中稍微延长，这些延长线段的交含于原来线段∩iCi\cap_i C_i之中，这是因为他们只是有限多个。因此根据定理6.4的判定准则z∈∩iCiz\in\cap_i C_i。||||
当集合ri Ci\text{ri}\ C_i没有公共点时，定理6.5中的公式不成立，考虑I=1,2I={1,2}的一个实例，C1C_1是R2R^2中不含原点的正象限而C2C_2是R2R^2的水平轴，第二个公式中还需要II是有限的：对于α>0\alpha>0的实区间[0,1+α][0,1+\alpha]的交集是[0,1][0,1]，但是对于α>0\alpha>0的实区间ri [0,1+α]\text{ri}\ [0,1+\alpha]的交不是ri [0,1]\text{ri}\ [0,1]。
推论6.5.1 令CC是凸集，令MM是仿射集(像直线和超平面)且包含ri C\text{ri}\ C中的一个点，那么
\text{ri}\ (M\cap C)=M\cap\text{ri}\ C,\quad \text{cl}\ (M\cap C)=M\cap\text{cl}\ C
证明：对于仿射集，ri M=M=cl M\text{ri}\ M=M=\text{cl}\ M。||||
推论6.5.2 令C1C_1是凸集，令C2C_2是含于cl C1\text{cl}\ C_1 而又没有完全含于C1C_1相对内点的凸集，那么ri C2⊂ri C1\text{ri}\ C_2\subset\text{ri}\ C_1。
证明：推论中的假设暗示ri C2\text{ri}\ C_2和ri(cl C1)=ri C1\text{ri}(\text{cl}\ C_1)=\text{ri}\ C_1有一个公共点，否则的话相对边界cl C1∖ri C1\text{cl}\ C_1\backslash\text{ri}\ C_1将包含ri C2\text{ri}\ C_2和它的闭包cl C2\text{cl}\ C_2，因此
\text{ri}\ C_2\cap\text{ri}\ C_1=\text{ri}\ C_2\cap\text{ri}(\text{cl}\ C_1)=\text{ri}(C_2\cap\text{cl}\ C_1)=\text{ri}\ C_2
即ri C2⊂ri C1\text{ri}\ C_2\subset\text{ri}\ C_1。||||
定理6.6 令CC是RnR^n中的凸集，令AA是从RnR^n到RmR^m的线性变换，那么
\text{ri}(AC)=A(\text{ri}\ C),\quad \text{cl}(AC)\supset A(\text{cl}\ C)
证明：闭包的包含关系仅仅反映了线性变换是连续的这个事实；它不依赖于CC是否为凸。为了证明相对内点的结论，我们首先讨论
\text{cl}\ A(\text{ri}\ C)\supset A(\text{cl}\ (\text{ri}\ C))=A(\text{cl}\ C)\supset AC\supset A(\text{ri}\ C)
这就表明ACAC和A(ri C)A(\text{ri}\ C)有相同的闭包，于是根据推论6.3.1也有相同的相对内点，因此ri(AC)⊂A(ri C)\text{ri}(AC)\subset A(\text{ri}\ C)。现在假设z∈A(ri C)z\in A(\text{ri}\ C)，我们将用定理6.4来表明z∈ri(AC)z\in\text{ri}(AC)，令xx是ACAC中的任意一点，选择任意元素z′∈ri C,x′∈Cz^{'}\in\text{ri}\ C,x^{'}\in C使得Az′=z,Ax′=xAz^{'}=z,Ax^{'}=x，存在某个μ>1\mu>1使得向量(1−μ)x′+μz′(1-\mu)x^{'}+\mu z^{'}属于CC，在AA的变换下这个向量的像是(1−μ)x+μz(1-\mu)x+\mu z，于是对于某个μ>1,(1−μ)x+μz\mu>1,(1-\mu)x+\mu z属于ACAC，因此z∈ri(AC)z\in\text{ri}(AC)。||||
定理6.6中cl(AC)\text{cl}(AC)和A(cl C)A(\text{cl}\ C)之间可能的差异将会在第9节讨论。
推论6.6.1 对于任意凸集CC和任意实数λ\lambda，ri(λC)=λri C\text{ri}(\lambda C)=\lambda\text{ri}\ C。
证明：取A:x→λxA:x\to\lambda x。||||
对于凸集C1⊂Rm,C2⊂RpC_1\subset R^m,C_2\subset R^p在Rm+pR^{m+p}中的直和C1⊕C2C_1\oplus C_2，我们有
\begin{align*} \text{ri}(C_1\oplus C_2)&=\text{ri}\ C_1\oplus \text{ri}\ C_2\\ \text{cl}(C_1\oplus C_2)&=\text{cl}\ C_1\oplus \text{cl}\ C_2 \end{align*}
当与定理6.6结合时，我们得到下面的事实。
推论6.6.2 对于RnR^n中的任意凸集C1,C2C_1,C_2
\begin{align*} \text{ri}(C_1+C_2)&=\text{ri}\ C_1+\text{ri}\ C_2\\ \text{cl}(C_1+C_2)&\supset\text{cl}\ C_1+\text{cl}\ C_2 \end{align*}
证明：C1+C2=A(C1⊕C2)C_1+C_2=A(C_1\oplus C_2)，其中AA从R2nR^{2n}到RnR^n的加法线性变换，即A:(x1,x2)→x1+x2A:(x_1,x_2)\to x_1+x_2。||||
推论6.6.2将会在推论9.1.1和9.1.2中深入讨论。
定理6.7 令AA是从RnR^n到RmR^m的线性变换，令CC是RmR^m 中的凸集，使得A−1(ri C)≠∅A^{-1}(\text{ri}\ C)\neq\emptyset，那么
\text{ri}(A^{-1}C)=A^{-1}(\text{ri}\ C),\quad \text{cl}(A^{-1}C)=A^{-1}(\text{cl}\ C)
证明：令D=Rn⊕CD=R^n\oplus C，令MM是AA的图像，那么MM是一个仿射集(事实上如第1节说的那样是一个子空间)并且MM包含ri D\text{ri}\ D中的一个点。令PP是从Rn+mR^{n+m}到RnR^n的投影(x,y)→x(x,y)\to x，那么A−1C=P(M∩D)A^{-1}C=P(M\cap D)，根据定理6.6和推论6.5.1，我们有
\begin{align*} \text{ri}(A^{-1}C) &=P(\text{ri}(M\cap D))=P(M\cap\text{ri}\ D)=A^{-1}(\text{ri}\ C)\\ \text{cl}(A^{-1}C) &\supset P(\text{cl}(M\cap D))=P(M\cap\text{cl}\ D)=A^{-1}(\text{cl}\ C) \end{align*}
而AA的连续性暗含了cl(A−1C)⊂A−1(cl C)\text{cl}(A^{-1}C)\subset A^{-1}(\text{cl}\ C)。||||
现在考虑m=n=2m=n=2时定理6.7的一个反例，此时相对内点不满足条件。CC是R2R^2的不包含原点的正象限，而AA将(ξ1,ξ2)(\xi_1,\xi_2)投影到(ξ1,0)(\xi_1,0)上。
通过上面的结果可知，对于相对开凸集，有限的交，标量乘法，加法和线性(仿射)变换下取像或原像运算后依然是相对开凸集。
定理6.8 令CC是Rm+pR^{m+p}中的凸集，对于每个y∈Rmy\in R^m，令CyC_y是向量z∈Rpz\in R^p的集合，使得(y,z)∈C(y,z)\in C。令D={y|Cy≠∅}D=\{y|C_y\neq\emptyset\}，那么当且仅当y∈ri D,z∈ri Cyy\in\text{ri}\ D,z\in\text{ri}\ C_y时(y,z)∈ri C(y,z)\in\text{ri}\ C。
证明：投影(x,y)→y(x,y)\to y将CC搬到DD上，根据定理6.6也将ri C\text{ri}\ C搬到ri D\text{ri}\ D上。给定y∈ri Dy\in\text{ri}\ D和仿射集M={(y,z)|z∈Rp}M=\{(y,z)|z\in R^p\}，ri C\text{ri}\ C中的点就是
M\cap\text{ri}\ C=\text{ri}(M\cap C)={(y,z)|z\in\text{ri}\ C_y}
公式中的第一个等式由推论6.5.1得出，因此任意给定y∈ri Dy\in\text{ri}\ D，当且仅当z∈ri Cyz\in\text{ri}\ C_y时我们有(y,z)∈ri C(y,z)\in\text{ri}\ C。||||
推论6.8.1 令CC是RnR^n中的非空凸集，令KK是{(1,x)|x∈C}\{(1,x)|x\in C\}生成的Rn+1R^{n+1}中的凸锥，那么ri K\text{ri}\ K由(λ,x)(\lambda,x)组成，其中λ>0,x∈λri C\lambda>0,x\in\lambda\text{ri}\ C。
证明：令定理中的Rm=R,Rp=RnR^m=R,R^p=R^n。||||
利用上面介绍的，我们可以构造一个很简单实例。由非空凸集CC生成的RnR^n中凸锥的相对内点由形如λx\lambda x的向量组成，其中λ>0,x∈ri C\lambda>0,x\in\text{ri}\ C。对于这种锥闭包的形式将会在定理9.8中给出。
仔细观察可以得出，凸锥的相对内点和相对闭包也一直是凸锥，这可以从推论6.6.1中立刻得出，因为对于凸集CC，当且仅当对每个λ>0\lambda>0时λC=C\lambda C=C，这个凸集是凸锥。
定理6.9 令C1,…,CmC_1,\ldots,C_m是RnR^n中的非空凸集，令C0=conv(C1∪⋯∪Cm)C_0=\text{conv}(C_1\cup\cdots\cup C_m)。那么
\text{ri}\ C_0=\cup\{\lambda_1\text{ri}\ C_1+\ldots+\lambda_m\text{ri}\ C_m|\lambda_i>0,\lambda_1+\cdots+\lambda_m=1\}
证明：令KiK_i是{(1,xi)|xi∈Ci},i=0,1,…,m\{(1,x_i)|x_i\in C_i\},i=0,1,\ldots,m 生成的Rn+1R^{n+1}中的凸锥，那么
K_0=\text{conv}(K_1\cup\cdots\cup K_m)=K_1+\cdots+K_m
(定理3.8)，于是利用推论6.6.2
\text{ri}\ K_0=\text{ri}\ K_1+\cdots+\text{ri}\ K_m
根据推论6.8.1，ri Ki\text{ri}\ K_i由(λi,xi)(\lambda_i,x_i)组成，其中λi>0,xi∈λiri Ci\lambda_i>0,x_i\in\lambda_i\text{ri}\ C_i，因此x0∈ri C0x_0\in\text{ri}\ C_0等价于(1,x0)∈ri K0(1,x_0)\in\text{ri}\ K_0，转而等价于
x_0\in(\lambda_1\text{ri}\ C_1+\cdots+\lambda_m\text{ri}\ C_m)
其中λ1>0,…,λm>0,λ1+⋯+λm=1\lambda_1>0,\ldots,\lambda_m>0,\lambda_1+\cdots+\lambda_m=1。||||
定理6.9中C0C_0的闭包将会在定理9.8中讨论。
附：文章PDF版本http://pan.baidu.com/s/1mhGNjuw
漫步凸分析六——凸集的相对内点相关推荐
- 漫步凸分析三——凸集代数
有许多种代数运算可以保留凸性. 例如,如果CC是RnR^n中的凸集,那么所有平移操作C+aC+a和标量乘法λC\lambda C同样是凸集,其中 λC={λx|x∈C} \lambda C=\{\la ...
- UA SIE545 优化理论基础1 凸分析3 凸集与凸包
UA SIE545 优化理论基础1 凸分析3 凸集与凸包 基本概念与性质 凸集 凸组合 凸包 基本概念与性质 凸集 考虑数域FFF上的线性空间VVV. 定义一 凸集(convex set).S⊂VS ...
- 漫步凸分析八——回收锥与无界
RnR^n中的有界闭子集通常比无界的更容易处理,然而,当集合为凸时,无界的困难度就下降很多,这实在是一大幸事,因为我们考虑的许多集合像上境图从他们的性质可知是无界的. 根据我们的直观理解,无界闭凸集在 ...
- 漫步凸分析七——凸函数闭包
线性函数的凸性是代数性质(线性)的结果,而对于凸函数,事情就没那么简单了,但是凸函数本身依然有许多拓扑性质,通过将凸集的闭包和相对内点理论应用到凸函数的上境图或水平集上可以推出这些结论.有一个基本的结 ...
- 漫步凸分析二——凸集和锥
对于RnR^n中的子集CC,当x∈C,y∈C,0<λ<1x\in C,y\in C,0 时,(1−λ)x+λy∈C(1-\lambda)x+\lambda y\in C,那么我们说集合CC ...
- 漫步凸分析十一——分离定理
令C1,C2C_1,C_2是RnR^n中的非空集合,有一个超平面HH,如果C1C_1含于其中的一个闭半空间而C2C_2含于相对立的闭半空间,那么我们称HH分离(separate)C1,C2C_1,C_ ...
- 漫步凸分析五——函数运算
对于已知的凸函数,我们如何对他们进行使得产生的函数依然是凸的呢?目前已经证明了许多运算是保留凸性的,某些运算与平常分析中的运算是类似的,像函数的逐点加法,还有一些运算出自几何动机,像取函数集的凸包.通 ...
- 漫步最优化六——数学规划
面对你美丽的面容,\textbf{面对你美丽的面容,} 我努力压抑自己的内心,\textbf{我努力压抑自己的内心,} 可是爱情怎么喊停:\textbf{可是爱情怎么喊停:} 面对你认真的双眼,\te ...
- 漫步数理统计六——条件概率与独立(下)
$$\textbf{例5:}$瓶$C_1$中有$3$个红球,$7$个白球,瓶$C_2$中有$8$个红球,$2$个白球,这些球大小与形状都是一样的,现在假设选择瓶$C_1$的概率为$P(C_1)=\fr ...
最新文章
- 算法最少分组法_数据结构
- RDKit | 基于RDKit和k-均值对化合物进行非分层聚类
- 报告|机器人行业深度报告：机器人产业价值与回报相关度分析
- java list翻转_浅谈Java数据结构中的常见问题
- python对于会计-会计转到数据分析值得吗？
- 160个CrackMe002
- Ansible 七（ad hoc任务）
- mongodb防火墙配置
- 语音机器人究竟能做些什么？
- pyspark分类算法之多层感知机神经网络分类器模型实践【MLPClassifier】
- gaussian09使用教程linux,Gaussian-09-GaussView5.0使用教程.ppt
- stm32开发3D打印机（一）——介绍（已完成）
- 永洪BI开发脚本总结
- 腾讯云物联网通信MQTT数据转发到第三方服务
- 棋牌游戏“拖拉机”牌型提取
- 按头安利 好看又实用的冰淇淋VRay材质球素材看这里
- Vulkan_Shader—天空盒原理及源码
- 基于jquery复刻一个月饼版地狱死神小游戏
- Cadence PCB仿真使用Allegro PCB SI生成振铃ringing仿真报告及报告导读图文教程
- PowerPMAC技术培训------2、PowerPMAC产品介绍