漫步凸分析八——回收锥与无界

RnR^n中的有界闭子集通常比无界的更容易处理，然而，当集合为凸时，无界的困难度就下降很多，这实在是一大幸事，因为我们考虑的许多集合像上境图从他们的性质可知是无界的。

根据我们的直观理解，无界闭凸集在无穷远处行为比较简单，假设CC是这样的一个集合并且xx是CC中的一点，那么似乎CC必须包含以xx为起点的某个整条半线，否则的话这就与无界相矛盾。这条半线的方向似乎不依赖于xx：CC中从另一个以yy为起点的半线很明显仅仅是以xx为起点的半线平移得到的，这些方向可以看成CC中位于无穷远处的理想点，经过几何投影后得到一个水平点。那么CC中以xx为起点的半线可以理解成连接xx与这种理想点之间的线段。

下面我们就需要将这些直观概念放到坚实的数学基础上并将其应用到凸函数的学习中。

首先我们来看如果将方向的概念形式化，RnR^n中的每个半线应该有一个方向，如果两条半线互相之间通过平移可以得到，那么他们的方向是一样的，因为我们将RnR^n中的方向定义为RnR^n中等价关系下的所有闭半线集，这个等价关系是半线L1L_1是半线L2L_2的平移得到的，那么根据定义，半线{x+λy|λ≥0},y≠0\{x+\lambda y|\lambda\geq0\},y\neq0的方向就是半线平移后得到的所有半线集合，它与xx无关，我们也可以成它为yy的方向。对于RnR^n中的两个向量，当且仅当他们互相是正倍数关系时，他们的方向相同，零向量没有方向，谈到这，相信大家对于给定方向的反方向是何意都会很清楚了。

RnR^n中的点和Rn+1R^{n+1}中超平面M={(1,x)|x∈Rn}M=\{(1,x)|x\in R^n\} 的点有很自然的对应关系，点x∈Rnx\in R^n可以用射线{λ(1,x)|λ≥0}\{\lambda(1,x)|\lambda\geq0\}表示，那么RnR^n的方向可以用射线{λ(0,y)|λ≥0},y≠0\{\lambda(0,y)|\lambda\geq0\},y\neq0表示，这条射线位于平行于MM且过Rn+1R^{n+1}原点的超平面上，这表明可以将RnR^n的方向看成RnR^n中无穷远处的点。(这个用法不同于投影集合)对于Rn+1R^{n+1}中两条射线的凸包，他们与MM 相交的部分对应于RnR^n中表示他们的线段，如果一条射线表示无穷远处的一点，那么我们得出的不是线段而是一条半线。

令CC是RnR^n中的非空凸集，当CC包含所有以CC中点为起点，方向是DD的半线时，我们称CC在方向DD上回退(recede)，换句话说，CC在y,y≠0y,y\neq0方向上回退，当且仅当对于每个λ≥0,x∈C\lambda\geq0,x\in C时x+λy∈Cx+\lambda y\in C。所有满足这个条件的向量y∈Rny\in R^n的集合(包括y=0)称为CC 的回收锥(recession cone)，CC的回收锥将用0+C0^+C表示，究其原因，不久进行解释。CC回退的方向也称之为CC的回收方向。

在其他地方，cl C\text{cl}\ C的回收锥也称为CC的渐近锥(asymptotic cone)，这里我们不采用这个术语，因为它与渐近线(asymptote)和渐近(asymptotic)的其他用法不一致，可能引起歧义。

定理8.1\textbf{定理8.1} 令CC是非空凸集，那么回收锥0+C0^+C是包含原点的凸锥，它与使得C+y⊂CC+y\subset C的向量yy的集合是一样的。

证明：\textbf{证明：}每个y∈0+Cy\in0^+C有一个性质，即对于每个x∈C,x+y∈Cx\in C,x+y\in C，也就是C+y⊂CC+y\subset C。另一方面，如果C+y⊂CC+y\subset C，那么

C+2y=(C+y)+y⊂⊂C+y⊂C

C+2y=(C+y)+y\subset\subset C+y\subset C

等等，这就表明对于每个x∈Cx\in C和正整数m,x+my∈Cm,x+my\in C，那么根据凸性，加入点x∈C,x+y,x+2yx\in C,x+y,x+2y的线段都包含在CC 中，这样的话对于每个λ≥0,x+λy∈C\lambda\geq0,x+\lambda y\in C，所以y∈0+Cy\in0^+C。因为正标量乘法不改变方向，所以0+C0^+C就是一个锥，接下来就剩证明0+C0^+C的凸性。如果y1,y2y_1,y_2 是0+C0^+C中的向量且0≤λ≤10\leq\lambda\leq1，我们有

(1−λ)y1+λy2+C=(1−λ)(y1+C)+λ(y2+C)⊂(1−λ)C+λC=C

\begin{align*} (1-\lambda)y_1+\lambda y_2+C=(1-\lambda)(y_1+C)+&\lambda(y_2+C)\\ &\subset(1-\lambda)C+\lambda C=C \end{align*}

(利用定理3.2的分配率)因此(1−λ)y1+λy2(1-\lambda)y_1+\lambda y_2 在0+C0^+C中。||||

这里举一些R2R^2中凸集合回收锥的例子，对于凸集

C1C2C3C4={(ξ1,ξ2)|ξ1>0,ξ2≥1/ξ1}={(ξ1,ξ2)|ξ2≥ξ21}={(ξ1,ξ2)|ξ21+ξ22≤1}={(ξ1,ξ2)|ξ1>0,ξ2>0}∪{(0,0)}

\begin{align*} C_1&=\{(\xi_1,\xi_2)|\xi_1>0,\xi_2\geq1/\xi_1\}\\ C_2&=\{(\xi_1,\xi_2)|\xi_2\geq\xi_1^2\}\\ C_3&=\{(\xi_1,\xi_2)|\xi_1^2+\xi_2^2\leq1\}\\ C_4&=\{(\xi_1,\xi_2)|\xi_1>0,\xi_2>0\}\cup\{(0,0)\} \end{align*}

我们有

0+C10+C20+C30+C4={(ξ1,ξ2)|ξ1≥0,ξ2≥0}={(ξ1,ξ2)|ξ1=0,ξ2≥0}={(ξ1,ξ2)|ξ1=0=ξ2}={(0,0)}={(ξ1,ξ2)|ξ1>0,ξ2>0}∪{(0,0)}=C4

\begin{align*} 0^+C_1&=\{(\xi_1,\xi_2)|\xi_1\geq0,\xi_2\geq0\}\\ 0^+C_2&=\{(\xi_1,\xi_2)|\xi_1=0,\xi_2\geq0\}\\ 0^+C_3&=\{(\xi_1,\xi_2)|\xi_1=0=\xi_2\}=\{(0,0)\}\\ 0^+C_4&=\{(\xi_1,\xi_2)|\xi_1>0,\xi_2>0\}\cup\{(0,0)\}=C_4 \end{align*}

当然，非空仿射集MM的回收锥是平行于MM的子空间LL，如果CC是RnR^n上弱线性不等式组的解集，

C={x|⟨x,bi⟩≥β,∀i∈I}≠∅

C=\{x|\langle x,b_i\rangle\geq\beta,\forall i\in I\}\neq\emptyset

CC的回收锥是由对应的齐次不等式组给出，很容易证实：

0+C={x|⟨x,bi⟩≥0,∀i∈I}

0^+C=\{x|\langle x,b_i\rangle\geq0,\forall i\in I\}

当RnR^n中的点用上面介绍的Rn+1R^{n+1}中射线表示时，非空凸集CC可以表示成这些射线的并，这个并是凸锥

K={(λ,x)|λ≥0,x∈λC}

K=\{(\lambda,x)|\lambda\geq0,x\in\lambda C\}

除了原点外，全都位于开半空间{(λ,x)|λ>0}\{(\lambda,x)|\lambda>0\}上，现在我们考虑如何将KK放大成形如K∪K0K\cup K_0的凸锥，其中K0K_0是位于超平面{(0,x)|x∈Rn}\{(0,x)|x\in R^n\}中的一个锥。因为KK已经是一个锥了，要想使K∪K0K\cup K_0是凸锥的充分必要条件是K0K_0是凸集并且K+K0⊂K∪K0K+K_0\subset K\cup K_0(定理2.6)。当且仅当每个(1,x′)∈K0(1,x^{'})\in K_0满足：对每个(1,x′)∈K(1,x^{'})\in K时(1,x′)+(0,x)(1,x^{'})+(0,x)属于KK，那么我们有K+K0⊂K∪K0K+K_0\subset K\cup K_0，这个性质意味着对每个x′∈C,x′+x∈Cx^{'}\in C,x^{'}+x\in C，因此根据定理8.1可知x∈0+Cx\in0^+C，那么在半空间{(λ,x)|λ≥0}\{(\lambda,x)|\lambda\geq0\}中存在一个唯一的最大凸锥K′K^{'}，它与半空间{(λ,x)|λ>0}\{(\lambda,x)|\lambda>0\}的交集是K∖{(0,0)}K\backslash\{(0,0)\}，即

K′={(λ,x)|λ>0,x∈λC}∪{(0,x)|x∈0+C}

K^{'}=\{(\lambda,x)|\lambda>0,x\in\lambda C\}\cup\{(0,x)|x\in0^+C\}

这时候，0+C0^+C可以看成λ→0+\lambda\to0^+时λC\lambda C的值。

定理8.2\textbf{定理8.2} 令CC是RnR^n中的非空闭凸集，那么0+C0^+C 是闭的并且它有形如λ1x1\lambda_1x_1,λ2x2\lambda_2x_2,…\ldots 序列的所有可能极限组成，其中xi∈C,λi↓0x_i\in C,\lambda_i\downarrow0。事实上，对于由{(1,x)|x∈C}\{(1,x)|x\in C\}生成的Rn+1R^{n+1}中的凸锥KK，我们有

cl K=K∪{(0,x)|x∈0+C}

\text{cl}\ K=K\cup\{(0,x)|x\in0^+C\}

证明：\textbf{证明：}超平面M={(1,x)|x∈Rn}M=\{(1,x)|x\in R^n\}肯定和ri K\text{ri}\ K 相交(推论6.8.1)，所以根据推论6.5.1中的闭包法则我们有

M∩cl K=cl(M∩K)=M∩K={(1,x)|x∈C}

M\cap\text{cl}\ K=\text{cl}(M\cap K)=M\cap K=\{(1,x)|x\in C\}

因此定理前面刚刚定义的锥K′K^{'}肯定包含cl K\text{cl}\ K，因为其最大属性。另一方面，因为K′K^{'}包含在半空间H={(λ,x)|λ≥0}H=\{(\lambda,x)|\lambda\geq0\} 中且与int H\text{int}\ H 相交，所以ri K′\text{ri}\ K^{'}肯定完全包含在int H\text{int}\ H中(推论6.5.2)，因此ri K′⊂K\text{ri}\ K^{'}\subset K时我们有

cl K⊂K′⊂cl(ri K′)⊂cl K

\text{cl}\ K\subset K^{'}\subset\text{cl}(\text{ri}\ K^{'})\subset\text{cl}\ K

这就证明了定理中的公式cl K=K′\text{cl}\ K=K^{'}，集合{(0,x)|x∈0+C}\{(0,x)|x\in0^+C\}是cl K\text{cl}\ K与{(0,x)|x∈Rn}\{(0,x)|x\in R^n\}的交集，所以它是闭的且由形如λ1(1,x1),λ2(1,x2),…\lambda_1(1,x_1),\lambda_2(1,x_2),\ldots序列的极限组成，其中xi∈C,λi↓0x_i\in C,\lambda_i\downarrow0。||||

有一个事实是当CC不是闭的，那么0+C0^+C将不是闭的，如上面C4C_4所示。

假设CC是闭的凸集且zz是这样的一个点，对于某个x∈Cx\in C，x,zx,z线段之间的相对内点位于CC中，那么z∈Cz\in C，这样的话对于每个x∈Cx\in C，相同的性质同样成立。下一个定理可以看成将这个事实推广到zz是无穷远处的情况。

定理8.3\textbf{定理8.3} 令CC是非空闭凸集并且y≠0y\neq0，如果存在一个xx，使得半线{x+λy|λ≥0}\{x+\lambda y|\lambda\geq0\}包含在CC 中，那么对于每个x∈Cx\in C，该结论同样成立，即我们有y∈0+Cy\in0^+C。甚至对于每个x∈ri C,{x+λy|λ≥0}x\in\text{ri}\ C,\{x+\lambda y|\lambda\geq0\}包含在ri C\text{ri}\ C 中，这样的话y∈0+(ri C)y\in0^+(\text{ri}\ C)。

证明：\textbf{证明：}令{x+λy|λ≥0}\{x+\lambda y|\lambda\geq0\}包含在CC 中，那么yy是序列λ1x1,λ2x2,…\lambda_1x_1,\lambda_2x_2,\ldots的极限，其中λk=1/k,xk=x+ky∈C\lambda_k=1/k,x_k=x+ky\in C，于是根据定理8.2 可知y∈0+Cy\in0^{+}C。定理的另一个断言从以下事实即可得到：CC 中与ri C\text{ri}\ C相交的任何线段肯定有内点在ri C\text{ri}\ C中(定理6.1)。||||

推论8.3.1\textbf{推论8.3.1} 对于任意非空凸集CC，我们有0+(ri C)=0+(cl C)0^+(\text{ri}\ C)=0^+(\text{cl}\ C)，事实上，给定任意x∈ri Cx\in\text{ri}\ C，当且仅当对于每个λ>0,x+λy∈C\lambda>0,x+\lambda y\in C时，我们有y∈0+(cl C)y\in0^+(\text{cl}\ C)。

推论8.3.2\textbf{推论8.3.2} 如果CC是包含原点的闭凸集，那么

0+C={y|ε−1y∈C,∀ε>0}=∩ε>0εC

0^+C=\{y|\varepsilon^{-1}y\in C,\forall\varepsilon>0\}=\cap_{\varepsilon>0}\varepsilon C

推论8.3.3\textbf{推论8.3.3} 如果{Ci|i∈I}\{C_i|i\in I\}是RnR^n中的任意闭凸集，且他们的交集不为空，那么

0+(∩i∈ICi)=∩i∈I0+Ci

0^+(\cap_{i\in I}C_i)=\cap_{i\in I}0^+C_i

证明：\textbf{证明：}令xx是闭凸集C=∩i∈ICiC=\cap_{i\in I}C_i中的任意一点，给定一个向量yy，当且仅当半线{x+λy|λ≥0}\{x+\lambda y|\lambda\geq0\}包含在每个CiC_i中时，yy的方向是CC回退的方向，但是这也意味着每个CiC_i在yy方向上回退。

推论8.3.4\textbf{推论8.3.4} 令AA是从RnR^n到RmR^m的线性变换，CC 是RmR^m 中的闭凸集，使得A−1C≠∅A^{-1}C\neq\emptyset，那么0+(A−1C)=A−1(0+C)0^+(A^{-1}C)=A^{-1}(0^+C)。

证明：\textbf{证明：}因为AA是连续的并且CC是闭的，所以A−1CA^{-1}C是闭的。取x∈A−1Cx\in A^{-1}C，当且仅当对每个λ≥0\lambda\geq0时，CC包含A(x+λy)=Ax+λAyA(x+\lambda y)=Ax+\lambda Ay，我们有y∈0+(A−1C)y\in0^+(A^{-1}C)，这就意味着Ay∈0+CAy\in0^+{C} 即y∈A−1(0+C)y\in A^{-1}(0^+C)。||||

当CC不为闭时，定理8.3的第一个断言不满足：上面的C4C_4 包含形如(1,1)+λ(1,0)(1,1)+\lambda(1,0)的所有点组成的半线，但是(1,0)(1,0)不属于0+(ri C4)0^+(\text{ri}\ C_4)，另外联系到推论8.3.1，我们还能看出0+(ri C4)0^+(\text{ri}\ C_4)比0+C40^+C_4要适当的大一点。

任何无界闭凸集至少包含一个无穷远处的点，即至少有一个回退方向，我们在接下里的定理中说明这个问题。因此，无界是我们想到的最简单的形式。

定理8.4\textbf{定理8.4} 对于RnR^n中的一个非空闭凸集，当且仅当它的回收锥只由零向量组成时，它是有界的。

证明：\textbf{证明：}如果CC是有界的，那么它肯定不包含半线，这样的话0+C=00^+C={0}。另一方面，如果CC是无界的，那么它包含一个非零向量序列x1,x2,…x_1,x_2,\ldots，并且他们的欧几里得范数|xi||x_i|无限制的增加，向量λixi\lambda_ix_i都属于单位球S={x||x|=1}S=\{x||x|=1\}，其中λi=1/|xi|\lambda_i=1/|x_i|。因为SS 是RnR^n的闭有界子集，所以λ1x1,λ2x2,…\lambda_1x_1,\lambda_2x_2,\ldots的某个子序列将会收敛到某个值yy，且y∈Sy\in S，根据定理8.2可知，这个yy是0+C0^+C的一个非零向量。||||

推论8.4.1\textbf{推论8.4.1} 令CC是闭的凸集，MM是仿射集且使得M∩CM\cap C 是非空有界的，那么对于每个平行于MM的仿射集M′,M′∩CM^{'},M^{'}\cap C是有界的。

证明：\textbf{证明：}根据平行的定义我们有0+M′=0+M0^+M^{'}=0^+M，假设M′∩CM^{'}\cap C 不是空的，那么根据推论8.3.3我们有

0+(M′∩C)=0+M′∩0+C=0+M∩0+C=0+(M∩C)

0^+(M^{'}\cap C)=0^+M^{'}\cap 0^+C=0^+M\cap 0^+C=0^+(M\cap C)

因为M∩CM\cap C是有界的，这就表明0(M′∩C)=00^(M^{'}\cap C)=0，于是M′∩CM^{'}\cap C 是有界的。||||

如果CC是非空凸集，那么集合(−0+C)∩0+C(-0^+C)\cap0^+C就称为CC 的线性空间(lineality space)，它由零向量和所有满足条件的非零向量yy组成，该条件就是对于每个x∈Cx\in C，通过xx 并且方向为yy的那条直线依然含于CC中。线性空间中向量yy的方向叫做CC是线性的方向，当然如果CC是闭的并且包含某条线MM，那么所有平行于MM且通过CC中点的直线含于CC，(这是定理8.3的特殊情况)线性空间与使得C+y=CC+y=C的向量yy集合是一样的。

CC的线性空间是一个子空间，含于凸锥0+C0^+C的最大子空间(定理2.7)，它的维数称为CC的线性度(lineality)。

例如考虑圆筒

C={(ξ1,ξ2,ξ3)|ξ21+ξ22≤1}⊂R3

C=\{(\xi_1,\xi_2,\xi_3)|\xi_1^2+\xi_2^2\leq1\}\subset R^3

CC的线性空间是ξ3\xi_3轴，所以CC的线性度是1，实际上这里的CC是直线和圆盘的直和。

一般而言，如果CC是非平凡线性空间LL中的非空凸集，显然我们可以将CC表示成直和的形式

C=L+(C∩L⊥)

C=L+(C\cap L^{\perp})

其中L⊥L^{\perp}是LL的正交补，该表达式中集合C∩L⊥C\cap L^{\perp}的线性度是0，C∩L⊥C\cap L^{\perp}的维数(也就是CC的维数减去CC的线性度)称为CC 的秩(rank)，它是CC非线性的度量。

秩为0的凸集是仿射集，当且仅当闭凸集不包含直线时，它的秩和它的维数一致。

考虑

C={x|⟨x,bi⟩≥βi,∀i∈I}

C=\{x|\langle x,b_i\rangle\geq\beta_i,\forall i\in I\}

CC的线性空间LL由方程组

L={x|⟨x,bi⟩=0,∀i∈I}

L=\{x|\langle x,b_i\rangle=0,\forall i\in I\}

给出。

接下来我们将上面的结果应用到凸函数上。令ff是RnR^n上不恒等于+∞+\infty 的凸函数，ff的上境图有一个回收锥0+(epi f)0^+(\text{epi}\ f)，根据定义，当且仅当对于每个(x,μ)∈epi f,λ≥0(x,\mu)\in\text{epi}\ f,\lambda\geq0时

(x,μ)+λ(y,v)=(x+λy,μ+λv)∈epi f

(x,\mu)+\lambda(y,v)=(x+\lambda y,\mu+\lambda v)\in\text{epi}\ f

成立，那么(y,v)∈0+(epi f)(y,v)\in0^+(\text{epi}\ f)，这就意味着对于每个x,λ≥0x,\lambda\geq0

f(x+λy)≤f(x)+λv

f(x+\lambda y)\leq f(x)+\lambda v

实际上，根据定理8.1，对于每个x,λ≥0x,\lambda\geq0，要想使不等式成立，只需要对每个x,λ=1x,\lambda=1成立即可。给定一个yy值，使得(y,v)∈0+(epi f)(y,v)\in0^+(\text{epi}\ f)的vv值将形成RR上的一个无界闭区间或者空区间，从而0+(epi f)0^+(\text{epi}\ f)是某个函数的上境图，我们称这函数为ff的回收函数并且用f0+f0^+表示。那么根据定义

epi(f0+)=0+(epi f)

\text{epi}(f0^+)=0^+(\text{epi}\ f)

从而f0+f0^+符号与我们之前第5节介绍的右标量乘法符号是一致的。

定理8.5\textbf{定理8.5} 令ff是正常凸函数，那么ff的回收函数f0+f0^+是正齐次正常凸函数。对于每个向量yy，我们有

(f0+)(y)=sup{f(x+y)−f(x)|x∈dom f}

(f0^+)(y)=\sup\{f(x+y)-f(x)|x\in\text{dom}\ f\}

如果ff是闭的，那么f0+f0^+也是闭的并且对于任意x∈dom f,f0+x\in\text{dom}\ f,f0^+ 由下面的形式给出

(f0+)(y)=supλ>0f(x+λy)−f(x)λ=limλ→∞f(x+λy)−f(x)λ

(f0^+)(y)=\sup_{\lambda>0}\frac{f(x+\lambda y)-f(x)}{\lambda}=\lim_{\lambda\to\infty}\frac{f(x+\lambda y)-f(x)}{\lambda}

证明：\textbf{证明：}第一个公式观察即可得出。条件v≥(f0+)(y)v\geq(f0^+)(y)也意味着

v≥supλ>0{[f(x+λy)−f(x)]/λ},∀x∈dom f

v\geq\sup_{\lambda>0}\{[f(x+\lambda y)-f(x)]/\lambda\},\quad\forall x\in\text{dom}\ f

(注意，从此是可以得出(f0+)(y)(f0^+)(y)不可能是−∞-\infty)对于任意固定值x∈dom fx\in\text{dom}\ f，上确界给出了最小的实数值vv，使得epi f\text{epi}\ f 包含起点为(x,f(x))(x,f(x))方向为(y,v)(y,v)的半线。如果ff是闭的，那么epi f\text{epi}\ f是闭的并且根据定理8.3，这个vv与xx无关，这就证明了定理中第二个上确界。因为利用函数ff的凸性，差商[f(x+λy)−f(x)]/λ[f(x+\lambda y)-f(x)]/\lambda 是λ\lambda的非递减函数(定理23.1)，所以上确界与λ→∞\lambda\to\infty的极限是一样的。上境图epi f\text{epi}\ f是非空凸锥，如果ff 是闭的它也是闭的；因此，f0+f0^+就是一个正齐次正常凸函数，如果ff 是闭的它也是闭的。||||

推论8.5.1\textbf{推论8.5.1} 令ff是正常凸函数，那么f0+f0^+至少是使得

f(z)≤f(x)+h(z−x),∀z,∀x

f(z)\leq f(x)+h(z-x),\forall z,\forall x

的函数hh。

当ff是闭的正常凸函数时，ff的回收锥可以闭包结构。令ff是由hh生成的正齐次凸函数，其中

h(λ,x)=f(x)+δ(λ|1)

h(\lambda,x)=f(x)+\delta(\lambda|1)

换句话说，

g(λ,x)=⎧⎩⎨(fλ)(x)(f0+)(x)+∞ifλ≥0ifλ=0ifλ<0

g(\lambda,x)= \begin{cases} (f\lambda)(x)&\text{if}\quad\lambda\geq0\\ (f0^+)(x)&\text{if}\quad\lambda=0\\ +\infty&\text{if}\quad\lambda

推论8.5.2\textbf{推论8.5.2} 如果ff是任意闭正常凸函数，那么对于每个y∈dom fy\in\text{dom}\ f我们有

(f0+)(y)=limλ↓0(fλ)(y)

(f0^+)(y)=\lim_{\lambda\downarrow0}(f\lambda)(y)

如果0∈dom f0\in\text{dom}\ f，那么这个公式对每个y∈Rny\in R^n 成立。

证明：\textbf{证明：}如果0∈dom f0\in\text{dom}\ f，那么定理8.5中第二个公式变成

(f0+)(y)=limλ↑∞[f(λy)−f(0)]/λ=limλ↓0λf(λ−1y)

(f0^+)(y)=\lim_{\lambda\uparrow\infty}[f(\lambda y)-f(0)]/\lambda=\lim_{\lambda\downarrow0}\lambda f(\lambda^{-1}y)

即使0∉dom f0\notin\text{dom}\ f，根据推论7.5.1，当对某个λ>0,(λ,y)\lambda>0,(\lambda,y)属于dom(cl g)\text{dom}(\text{cl}\ g) 时，我们有(gg 如上面所示)

(cl g)(0,y)=limλ↓0(cl g)(λ,y)

(\text{cl}\ g)(0,y)=\lim_{\lambda\downarrow0}(\text{cl}\ g)(\lambda,y)

证毕。||||

为了说明这个定理，我们考虑下面的函数

f1(x)=(1+⟨x,Qx⟩)1/2

f_1(x)=(1+\langle x,Qx\rangle)^{1/2}

其中QQ是n×nn\times n的对称半正定矩阵。(f1f_1的凸性可从定理5.1推出，而f0(x)=⟨x,Qx⟩1/2f_0(x)=\langle x,Qx\rangle^{1/2}的凸性通过对角化QQ可以看出)根据推论8.5.2，

(f10+)(y)=limλ↓0λf1(λ−1y)=limλ↓0(λ2+⟨y,Qy⟩)1/2=⟨y,Qy⟩1/2

\begin{align*} (f_10^+)(y) &=\lim_{\lambda\downarrow0}\lambda f_1(\lambda^{-1}y)\\ &=\lim_{\lambda\downarrow0}(\lambda^2+\langle y,Qy\rangle)^{1/2}=\langle y,Qy\rangle^{1/2} \end{align*}

另一方面，对于

f2(x)=⟨x,Qx⟩=⟨a,x⟩+α

f_2(x)=\langle x,Qx\rangle=\langle a,x\rangle+\alpha

利用同样的公式可得

(f20+)(y)=limλ↓0[λ−1⟨y,Qy⟩+⟨a,y⟩+λα]={⟨a,y⟩+∞ifQy=0ifQy≠0

\begin{align*} (f_20^+)(y) &=\lim_{\lambda\downarrow0}[\lambda^{-1}\langle y,Qy\rangle+\langle a,y\rangle+\lambda\alpha]\\ &=\begin{cases} \langle a,y\rangle&\text{if}\quad Qy=0\\ +\infty&\text{if}\quad Qy\neq0 \end{cases} \end{align*}

特别地，当QQ是正定的(即也是非奇异的)时候，我们有f20+=δ(⋅|0)f_20^+=\delta(\cdot|0)，当然对于任何有效定义域为有界的正常凸函数，公式依然成立。

一个非常有趣的例子是

f3(x)=log(eξ1+⋯+eξn),x=(ξ1,…,ξn),n>1

f_3(x)=\log(e^{\xi_1}+\cdots+e^{\xi_n}),\quad x=(\xi_1,\ldots,\xi_n),n>1

(f3f_3的凸性由定理4.5可得，但是利用定理16.4可以以推导出来)另外一个例子是

(f30+)(y)=max{ηj|j=1,…,n},y=(η1,…,ηn)

(f_30^+)(y)=\max\{\eta_j|j=1,\ldots,n\},\quad y=(\eta_1,\ldots,\eta_n)

虽然f30+f_30^+处处有限且f3f_3本身有解析式，但是f30+f_30^+ 确实不可微的。

闭正常凸函数ff的回收锥可以表征与ff共轭凸函数有效定义域的支撑函数，这将在定理13.3中讨论。

定理8.6\textbf{定理8.6} 令ff是正常凸函数，yy是一个向量，如果对于给定的xx，我们有

limλ→+∞inff(x+λy)<+∞

\lim_{\lambda\to+\infty}\inf f(x+\lambda y)

那么xx将会有下面的性质：f(x+λy)f(x+\lambda y)是λ\lambda的非增函数，其中−∞<λ<+∞-\infty。当且仅当(f0+)(y)≤0(f0^+)(y)\leq0成立时，那么这个性质对每个xx都满足。当ff是闭时，那么如果存在一个x∈dom fx\in\text{dom}\ f该性质满足，那么对每个xx，该性质都满足。

证明：\textbf{证明：}根据定义，当且仅当epi f\textbf{epi}\ f的回收锥包含向量(y,0)(y,0)(这就意味着对于每个z,λ≥0z,\lambda\geq0，不等式f(z+λy)≤f(z)f(z+\lambda y)\leq f(z) 成立) 时，(f0+)(y)≤0(f0^+)(y)\leq0，所以当且仅当对每个xx，f(x+λy)f(x+\lambda y)是λ\lambda的非增函数时(f0+)(y)≤0(f0^+)(y)\leq0，其中−∞<λ<+∞-\infty。如果ff是闭的，那么根据定理8.5最后一个公式，如果存在一个x∈dom fx\in\text{dom}\ f使得f(x+λy)f(x+\lambda y)是λ\lambda的非增函数，那么可以得出(f0+)(y)≤0(f0^+)(y)\leq0。现在假设xx是使得

limλ→+∞inff(x+λy)<α

\lim_{\lambda\to+\infty}\inf f(x+\lambda y)

的一点，其中α∈R\alpha\in R，令hh是RR上的正常凸函数，并定义为h(λ)=f(x+λy)h(\lambda)=f(x+\lambda y)，hh的上境图包含形如(λk,α),k=1,2,…(\lambda_k,\alpha),k=1,2,\ldots的点序列，其中λk→+∞\lambda_k\to+\infty，这个序列的凸包是一条半线且方向是向量(1,0)(1,0)所在的方向，这条半线包含在闭凸集epi(cl h)\text{epi}(\text{cl}\ h)中，于是(1,0)(1,0)属于epi(cl h)\text{epi}(\text{cl}\ h)的回收锥，即cl h\text{cl}\ h是RR上的非增函数，cl h\text{cl}\ h的有效定义域肯定是上面的无界区间，闭包运算顶多在有效定义域的边界会比hh值小(定理7.4)，所以hh本身一定是RR上非增函数，由此可得f(x+λy)f(x+\lambda y)是λ\lambda的非增函数。||||

推论8.6.1\textbf{推论8.6.1} 令ff是正常凸函数，yy是一个向量，为了使f(x+λy)f(x+\lambda y)对每个xx而言都是λ\lambda的常函数，其中−∞<λ<∞-\infty，充分必要条件是(f0+)(y)≤0(f0^+)(y)\leq0且(f0+)(−y)≤0(f0^+)(-y)\leq0。当ff为闭时，如果存在一个xx使得对某个实值α\alpha，

f(x+λy)≤α,∀λ∈R

f(x+\lambda y)\leq\alpha,\quad\forall\lambda\in R

成立，那么该条件依然满足。

推论8.6.2\textbf{推论8.6.2} 凸函数ff是任意仿射集MM上恒定的

证明：\textbf{证明：}如果需要的话可以将MM外的ff重新定义为+∞+\infty，我们可以假设M=dom fM=\text{dom}\ f，那么ff是闭的(推论7.4.2)。根据前面的推论，沿着MM中的每条线ff都是不变的。因为MM包含通过任意两点的直线，所以ff在MM 的所有点上值都一样。||||

所有使得(f0+)(y)≤0(f0^+)(y)\leq0的向量yy组成的集合称为ff的回收锥(注意，不要跟epi f\text{epi}\ f的回收锥混淆了)，这是包含0的凸锥，如果ff为闭那么它也为闭。(它对应于0+(epi f)0^+(\text{epi}\ f)与RnR^n中水平超平面{(y,0)|y∈Rn}\{(y,0)|y\in R^n\}的交)正如定理8.6所说的那样，ff回收锥中向量的方向称为ff回退的方向或者ff回收方向。

使得(f0+)(y)≤0,(f0+)(−y)≤0(f0^+)(y)\leq0,(f0^+)(-y)\leq0的向量yy组成的集合是含在ff回收锥中的最大子空间(定理2.7)，从推论8.6.1 的角度看，我们可以称其为ff的恒定空间(constancy space)，ff恒定空间中向量的方向称为ff不变的方向。

定理8.6前面的实例中，f1f_1回收锥与恒定空间都等于{y|Qy=0}\{y|Qy=0\}，而f2f_2 回收锥与恒定空间分别是

{y|Qy=0,⟨a,y⟩≤0},{y|Qy=0,⟨a,y⟩=0}

\{y|Qy=0,\langle a,y\rangle\leq0\},\quad\{y|Qy=0,\langle a,y\rangle=0\}

f3f_3回收锥是RnR^n的非正象限，但是恒定空间只有零向量组成。

定理8.7\textbf{定理8.7} 令ff是闭正常凸函数，那么所有形如{x|f(x)≤α},α∈R\{x|f(x)\leq\alpha\},\alpha\in R的非空水平集有相同的回收锥与相同的线性空间，也就是ff的回收锥和恒定空间。

证明：\textbf{证明：}根据定理8.6：无论何时f(x)≤α,λ≥0f(x)\leq\alpha,\lambda\geq0，当且仅当f(x+λy)≤αf(x+\lambda y)\leq\alpha时，yy属于{x|f(x)≤α}\{x|f(x)\leq\alpha\}的回收锥。||||

推论8.7.1\textbf{推论8.7.1} 令ff是闭正常凸函数，如果{x|f(x)≤α}\{x|f(x)\leq\alpha\}对一个α\alpha来说是非空且有界的，那么对每个α\alpha，它都是有界的。

证明：\textbf{证明：}应用定理8.4。||||

定理8.8\textbf{定理8.8} 对任意正常凸函数ff，下面在向量yy和实值vv 上的条件是等价的：

对每个向量xx与λ∈R\lambda\in R，f(x+λy)=f(x)+λvf(x+\lambda y)=f(x)+\lambda v；
- (y,v)(y,v)属于epi f\text{epi}\ f的线性空间；
- −(f0+)(−y)=(f0+)(y)=v-(f0^+)(-y)=(f0^+)(y)=v。
- 当ff为闭时，如果存在x∈dom fx\in\text{dom}\ f使得f(x+λy)f(x+\lambda y)是λ\lambda的仿射函数，那么yy满足这些条件且v=(f0+)(y)v=(f0^+)(y)。
  
  证明：\textbf{证明：}(a)(a)成立，对每个x∈dom f,f(x+y)−f(x)=vx\in\text{dom}\ f,f(x+y)-f(x)=v，根据定理8.5的第一个公式可得v=(f0+)(y),−v=(f0+)(−y)v=(f0^+)(y),-v=(f0^+)(-y)，所以(a)(a)暗含(c)(c)。接下来考虑(c)(c)，其表明(y,v),(−y,−v)(y,v),(-y,-v)都属于epi(f0+)\text{epi}(f0^+)即(y,v),−(y,v)(y,v),-(y,v)都属于0+(epi f)0^+(\text{epi}\ f)，这和条件(b)(b)是一致的。最后，(b)(b)表明
  
  (epi f)−λ(y,v)=epi f,∀λ∈R
  
  (\text{epi}\ f)-\lambda(y,v)=\text{epi}\ f,\quad\forall\lambda\in R
  
  对任意λ\lambda，左边的集合是epi g\text{epi}\ g，其中gg是定义如下的函数
  
  g(x)=f(x+λy)−λv
  
  g(x)=f(x+\lambda y)-\lambda v
  
  所以(a)(a)肯定满足，由此可知(a),(b),(c)(a),(b),(c)是等价的。定理中最后的断言从定理8.5的最后那个公式可以得出来。||||
  
  使得(f0+)(−y)=−(f0+)(y)(f0^+)(-y)=-(f0^+)(y)的向量yy组成的集合称为正常凸函数ff的线性空间(lineality space)，它是RnR^n的子空间，凸集epi f\text{epi}\ f在投影(y,v)→y(y,v)\to y下线性空间的像并且在这个子空间上f0+f0^+是线性的(定理4.8)，ff线性空间中向量的方向称为该方向上ff是仿射的，线性空间的维数是ff的线性度，ff的秩为ff的维数减去ff的线性度。
  
  秩为0的正常凸函数是部分仿射函数(partial affine function)，即沿着某个仿射集该函数与仿射函数是一致的，而其他地方为+∞+\infty。对于闭正常凸函数ff，当且仅当沿着dom f\text{dom}\ f中任意直线它都不是仿射时，我们有
  
  rank f=dom f
  
  \text{rank}\ f=\text{dom}\ f
  
  凸集的秩明显与指示函数的秩是一致的。

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