java解非线性方程组_非线性方程与方程组的数值解法

方程求根与二分法

1.原理

二分法基本原理是：零点定理

2.二分法

根据零点定理判断均分点的选择，依次分下去，能够求解到对应的值

优点：计算简单

缺点：收敛太慢

不动点的迭代法及其收敛性

1.不动点及其不动点迭代

基本思想：将隐式的方程化成显式的计算公式

几何上的理解：(额额额额，不知道怎么放上去，那就算了)

公式的表示：

f(x)=0 —> x=g(x)

迭代的格式为:

X(k+1)=g(X(k))

2.不动点的存在性与迭代法的收敛性

迭代收敛的定理1：g(x)满足两个条件：

1.对于任意的X∈[a,b]都有a≤g(x)≤b

2.存在正常数L<1,使对任意的x,y∈[a,b]都有

|g(x)-g(y)|≤L|x-y|

则g(x)在[a,b]上存在唯一的不动点X*

定理1的误差：

|Xk-X*|≤L/(1-L)|X1-X0|

定理的1的推论：存在X*的某个领域，|g(x)`|<1，则迭代法局部收敛

3.局部收敛与收敛阶

定理的1的推论：存在X*的某个领域，|g(x)`|<1，则迭代法局部收敛

收敛阶数：根据迭代值减去真实值的比值，前后相邻两次相比的次数关系确定是线性收敛，平方收敛，超线性收敛

迭代收敛的加速方法

1.艾特金加速方法

原理：微分中值定理

原理公式：

X1-X*/X2-X*=X2-X*/X3-X*

推出的迭代公式：

X(k+1)=Xk-(X(k+1)-Xk)²/(Xk-2X(k+1)+X(k+2))

2.斯特芬森迭代法

迭代法：

X(k+1)=Xk-(Yk-Xk)²/(Zk-2Yk+Xk)

Zk=h(Yk)

Yk=g(Xk)

牛顿法

1.牛顿法及其收敛性

基本思想：将非线性方程线性化，将非线性方程逐步递归成某种线性方程组求解的办法

基本思想的公式表示：

f(x)=f(Xk)+f`(Xk)(X-Xk)

由基本思想公式可以推出迭代公式:

X(k+1)=Xk-f(Xk)/f`(Xk)

优点：迭代速度快

缺点：1.每步都需计算f(x),f`(x),计算量大，且困难

2.初始解只有在解的附近才能保证

2.简化牛顿法与牛顿下山法

简单牛顿法

迭代公式：

X(k+1)==Xk-Cf(Xk)

根据迭代函数的基本性质可知：

|1—Xk-Cf(Xk)|<1可以推导出0

牛顿下山法：

条件：在原有的牛顿法上加上：

|f(X(K+1))|

3.重根情形

重根不处理则是线性收敛

重新构造迭代公式可以实现平方收敛

迭代函数；P227

弦切法与抛物线法

1.弦切法

弦切法：将牛顿法的f(x)用线性插值来表示

2.抛物线法

抛物线法：将牛顿法的f(x)用抛物线插值表示

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