常见分布的数学期望、方差与特征函数推导（一）离散型分布

1.单点分布
2.两点分布
3.二项分布
4.泊松分布
5.超几何分布
6.几何分布
6.负二项分布

1.单点分布

随机变量的取值，X=a(常数)
分布律：P(X=a)=1
X只取一个值，可以看成确定变量。

2.两点分布

随机变量的取值，X=k，k=0，1
E(X)=p
Var(X)=E(X2)−(EX)2=p−p2=pqVar(X)=E(X^2)-(EX)^2=p-p^2=pqVar(X)=E(X2)−(EX)2=p−p2=pq
φ(t)=EeitX=q+eitp\varphi(t)=Ee^{itX}=q+e^{it}pφ(t)=EeitX=q+eitp

3.二项分布

X∼b(n,p)X\thicksim b(n,p)X∼b(n,p)

随机变量的取值，X=k，k=0，1,……,n
分布律：P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k分布律：P(X=k)=C_n^k p^k(1-p)^{n-k}分布律：P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k
E(X)=∑k=0nkCnkpk(1−p)n−kE(X)=\sum_{k=0}^{n}{kC_n^kp^k(1-p)^{n-k} }E(X)=k=0∑nkCnkpk(1−p)n−k
=∑k=1nn!(k−1)!(n−k)!pk(1−p)n−k=\sum_{k=1}^{n} \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} p^k (1-p)^{n-k}=k=1∑n(k−1)!(n−k)!n!pk(1−p)n−k
=np∑k=1n(n−1)!(k−1)!(n−k)!pk−1(1−p)(n−1)−(k−1)=np \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} p^{k-1}(1-p)^{(n-1)-(k-1)}=npk=1∑n(k−1)!(n−k)!(n−1)!pk−1(1−p)(n−1)−(k−1)
=np∑k=0n−1(n−1)!k!(n−k−1)!pk(1−p)(n−1)−k,(变量平移)=np \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!} p^{k}(1-p)^{(n-1)-k},(变量平移)=npk=0∑n−1k!(n−k−1)!(n−1)!pk(1−p)(n−1)−k,(变量平移)
=np∑k=0n−1Cn−1kpk(1−p)(n−1)−k=np \sum_{k=0}^{n-1}C_{n-1}^kp^{k}(1-p)^{(n-1)-k}=npk=0∑n−1Cn−1kpk(1−p)(n−1)−k
=np(p+1−p)n−1=np=np(p+1-p)^{n-1} =np=np(p+1−p)n−1=np
E(X2)=∑k=0nk2Cnkpk(1−p)n−k，(k与组合数约去一个)E(X^2)=\sum_{k=0}^{n} k^2 C_n^kp^k(1-p)^{n-k}，( k与组合数约去一个) E(X2)=k=0∑nk2Cnkpk(1−p)n−k，(k与组合数约去一个)
=∑k=1n(k−1+1)n!(k−1)!(n−k)!pk(1−p)n−k，（把剩下的另一个k拆分）=\sum_{k=1}^{n}(k-1+1) \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}，（把剩下的另一个k拆分） =k=1∑n(k−1+1)(k−1)!(n−k)!n!pk(1−p)n−k，（把剩下的另一个k拆分）
=∑k=1nn!(k−2)!(n−k)!pk(1−p)n−k+E(X)=\sum_{k=1}^{n} \frac{n!}{(k-2)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}+E(X) =k=1∑n(k−2)!(n−k)!n!pk(1−p)n−k+E(X)
=n(n−1)p2∑k=1nn!(k−2)!(n−k)!pk−2(1−p)(n−2)−(k−2)+np=n(n-1)p^2 \sum_{k=1}^{n}\frac{n!}{(k-2)!(n-k)!}p^{k-2}(1-p)^{(n-2)-(k-2)}+np =n(n−1)p2k=1∑n(k−2)!(n−k)!n!pk−2(1−p)(n−2)−(k−2)+np
=n(n−1)p2(p+(1−p))n−2+np=n(n-1)p^2(p+(1-p))^{n-2}+np =n(n−1)p2(p+(1−p))n−2+np
=n(n−1)p2+np=n(n-1)p^2+np =n(n−1)p2+np
故，Var(X)=E(X2)−(EX)2Var(X)=E(X^2)-(EX)^2 Var(X)=E(X2)−(EX)2
=n(n−1)p2+np−(np)2=n(n-1)p^2+np-(np)^2 =n(n−1)p2+np−(np)2
=npq=npq =npq
φ(t)=EeitX=∑k=0neitkCnkpk(1−p)n−k\varphi(t)=Ee^{itX}=\sum_{k=0}^{n} e^{itk} C_n^kp^k(1-p)^{n-k} φ(t)=EeitX=k=0∑neitkCnkpk(1−p)n−k
=∑k=0nCnk(eitp)k(1−p)n−k=\sum_{k=0}^{n} C_n^k(e^{it}p)^{k}(1-p)^{n-k} =k=0∑nCnk(eitp)k(1−p)n−k
=(1−p+peit)n=(1-p+pe^{it})^n =(1−p+peit)n
=(q+peit)n=(q+pe^{it})^n =(q+peit)n

4.泊松分布

X∼P(λ)X\thicksim P(\lambda)X∼P(λ)

随机变量的取值，X=k，k=0，1,2,……

分布律：P(X=k)=λkk!e−λ分布律：P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} 分布律：P(X=k)=k!λke−λ
EX=∑k=0∞kλkk!e−λEX=\sum_{k=0}^{\infty} k\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} EX=k=0∑∞kk!λke−λ
=∑k=1∞λk(k−1)!e−λ=λ∑k=0∞λkk!e−λ,(变量作平移改变积分项的起始项，再由正则性∑k=0∞λkk!e−λ=1)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda}=\lambda\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},(变量作平移改变积分项的起始项，再由正则性\sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=1) =k=1∑∞(k−1)!λke−λ=λk=0∑∞k!λke−λ,(变量作平移改变积分项的起始项，再由正则性k=0∑∞k!λke−λ=1)
=λ=\lambda =λ
EX2=∑k=0∞k2λkk!e−λEX^2=\sum_{k=0}^{\infty} k^2\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} EX2=k=0∑∞k2k!λke−λ
=∑k=1∞(k−1+1)λk(k−1)!e−λ,(处理方法同二项分布，约去一个k，另一个k拆分)=\sum_{k=1}^{\infty} (k-1+1)\frac{\lambda^k}{(k-1)!}e^{-\lambda},(处理方法同二项分布，约去一个k，另一个k拆分) =k=1∑∞(k−1+1)(k−1)!λke−λ,(处理方法同二项分布，约去一个k，另一个k拆分)
=∑k=2∞λk(k−2)!e−λ+EX=\sum_{k=2}^{\infty} \frac{\lambda^k}{(k-2)!}e^{-\lambda}+EX =k=2∑∞(k−2)!λke−λ+EX
=λ2∑k=0∞λkk!e−λ+λ,(变量平移，正则性)=\lambda^2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} +\lambda,(变量平移，正则性) =λ2k=0∑∞k!λke−λ+λ,(变量平移，正则性)
=λ2+λ=\lambda^2+\lambda =λ2+λ
故，Var(X)=E(X2)−(EX)2Var(X)=E(X^2)-(EX)^2 Var(X)=E(X2)−(EX)2
=λ2+λ−λ2=λ=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda =λ2+λ−λ2=λ
φ(t)=EeitX=∑k=0∞eitkλkk!e−λ\varphi(t)=Ee^{itX}=\sum_{k=0}^{\infty} e^{itk}\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} φ(t)=EeitX=k=0∑∞eitkk!λke−λ
=∑k=0∞(eitλ)kk!e−λ=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(e^{it}\lambda)^k}{k!}e^{-\lambda} =k=0∑∞k!(eitλ)ke−λ
=e−λ∑k=0∞(eitλ)kk!,(利用幂级数展开式ex=∑k=0∞xkk!)=e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(e^{it}\lambda)^k}{k!},(利用幂级数展开式e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}) =e−λk=0∑∞k!(eitλ)k,(利用幂级数展开式ex=k=0∑∞k!xk)
=e−λeλeit=eλ(eit−1)=e^{-\lambda}e^{\lambda e^{it}}=e^{\lambda(e^{it}-1)} =e−λeλeit=eλ(eit−1)

5.超几何分布

X∼h(n,N,M)X\thicksim h(n,N,M)X∼h(n,N,M)
N件产品，其中M件不合格品，从中抽取n件，则抽到不合格品的个数服从超几何分布

随机变量的取值X=k，k=0,1，2，……r,(其中r=min{n，M})
P(X=k)=(Mk)(N−Mn−k)(Nn)P(X=k)=\frac{{M\choose k}{N-M \choose n-k}}{{N\choose n}} P(X=k)=(nN)(kM)(n−kN−M)
当n≪Nn \ll Nn≪N时，可用二项分布近似，故数字特征用二项分布近似（待更新其精确的数字特征）

6.几何分布

X∼Ge(p)X\thicksim Ge(p)X∼Ge(p)

随机变量的取值：X=k，k=1,2,……

分布律：P(X=k)=p(1−p)k−1P(X=k)=p(1-p)^{k-1}P(X=k)=p(1−p)k−1

EX=∑k=1∞kpqk−1=p∑k=1∞kqk−1EX=\sum_{k=1}^{\infty}kpq^{k-1}=p \sum_{k=1}^{\infty}kq^{k-1}EX=k=1∑∞kpqk−1=pk=1∑∞kqk−1

=p∑k=1∞dqkdq(凑微分)=p \sum_{k=1}^{\infty}\frac{dq^k}{dq}(凑微分)=pk=1∑∞dqdqk(凑微分)

=pddq(∑k=0∞qk)，(幂级数逐项微分,积分限从0开始)=p\frac{d}{dq}(\sum_{k=0}^{\infty}q^k)，(幂级数逐项微分,积分限从0开始)=pdqd(k=0∑∞qk)，(幂级数逐项微分,积分限从0开始)

=pddq(11−q),(收敛的等比级数求和，首项1−公比)=p\frac{d}{dq}(\frac{1}{1-q}),(收敛的等比级数求和，\frac{首项}{1-公比})=pdqd(1−q1),(收敛的等比级数求和，1−公比首项)

=p(1−q)2=1p=\frac{p}{(1-q)^2}=\frac{1}{p}=(1−q)2p=p1

EX2=∑k=1∞k2pqk−1EX^2 = \sum_{k=1}^{\infty}k^2pq^{k-1}EX2=k=1∑∞k2pqk−1

=p∑k=1∞k(k−1+1)qk−1=p \sum_{k=1}^{\infty}k(k-1+1)q^{k-1}=pk=1∑∞k(k−1+1)qk−1
=p∑k=1∞k(k−1)qk−1+EX=p\sum_{k=1}^{\infty}k(k-1)q^{k-1}+EX=pk=1∑∞k(k−1)qk−1+EX
=pq∑k=2∞k(k−1)qk−2+1p=pq\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)q^{k-2}+\frac{1}{p}=pqk=2∑∞k(k−1)qk−2+p1
=pq∑k=2∞d2qkdq2+1p=pq\sum_{k=2}^{\infty} \frac{d^2q^k}{dq^2}+\frac{1}{p}=pqk=2∑∞dq2d2qk+p1
=pqd2dq2（∑k=0∞qk）+1p=pq \frac{d^2}{dq^2}（\sum_{k=0}^{\infty} q^k）+\frac{1}{p}=pqdq2d2（k=0∑∞qk）+p1
=pqd2dq2(11−q)+1p=pq \frac{d^2}{dq^2}(\frac{1}{1-q})+\frac{1}{p}=pqdq2d2(1−q1)+p1
=pq2(1−q)3+1p=pq\frac{2}{(1-q)^3}+\frac{1}{p}=pq(1−q)32+p1
=2q+pp2=\frac{2q+p}{p^2}=p22q+p

故，Var(X)=E(X2)−(EX)2Var(X)=E(X^2)-(EX)^2Var(X)=E(X2)−(EX)2
=2q+pp2−1p2=qp2=\frac{2q+p}{p^2}-\frac{1}{p^2}=\frac{q}{p^2}=p22q+p−p21=p2q

φ(t)=EeitX=∑k=1∞eitkp(1−p)k−1\varphi(t)=Ee^{itX}=\sum_{k=1}^{\infty} e^{itk}p(1-p)^{k-1}φ(t)=EeitX=k=1∑∞eitkp(1−p)k−1
=p1−p∑k=1∞(eit(1−p))k= \frac{p}{1-p}\sum_{k=1}^{\infty}(e^{it}(1-p))^k =1−ppk=1∑∞(eit(1−p))k
=p1−p{∑k=0∞(eit(1−p))k−1}=\frac{p}{1-p} \{\sum_{k=0}^{\infty}(e^{it}(1-p))^k-1 \} =1−pp{k=0∑∞(eit(1−p))k−1}
=p1−p(11−eit(1−p)−1)=\frac{p}{1-p} (\frac{1}{1-e^{it}(1-p)}-1)=1−pp(1−eit(1−p)1−1)
=peit1−qeit=\frac{pe^{it}}{1-qe^{it}}=1−qeitpeit

6.负二项分布

X∼Nb(r,p)X\thicksim Nb(r,p)X∼Nb(r,p)
定义1：在一系列伯努利独立重复试验中，记每次试验中事件A发生的概率为p，如果X表示事件A第r次（r为事先给定的常数）出现时所需要的试验总次数，则X服从负二项分布。

随机变量X的取值，X=k，k=r,r+1,r+2，……∞\infty∞

此时X可表示为r个独立同为几何分布的独立和。
即X=X1+X2+……+Xr∼Nb(r,p),X=X_1+X_2+……+X_r \thicksim Nb(r,p),X=X1+X2+……+Xr∼Nb(r,p),
其中Xi∼Ge(p),且Xi独立。X_i \thicksim Ge(p),且X_i独立。Xi∼Ge(p),且Xi独立。
则由数学期望的性质：

EX=E(X1+X2+……+Xr)EX=E(X_1+X_2+……+X_r) EX=E(X1+X2+……+Xr)
=rEX1=rp=rEX_1=\frac{r}{p}=rEX1=pr
Var(X)=Var(X1+X2+……+Xr)Var(X)=Var(X_1+X_2+……+X_r)Var(X)=Var(X1+X2+……+Xr)
=rVar(X1)=rqp2=rVar(X_1)=\frac{rq}{p^2}=rVar(X1)=p2rq
有特征函数的性质，φ(t)=EeitX\varphi(t)=Ee^{itX}φ(t)=EeitX
=Eeit（X1+X2+……+Xr）=Ee^{it（X_1+X_2+……+X_r）}=Eeit（X1+X2+……+Xr）
=(EeitX1)r=(peit1−qeit)r=(Ee^{itX_1})^r=(\frac{pe^{it}}{1-qe^{it}})^r=(EeitX1)r=(1−qeitpeit)r

（待更新超几何分布和负二项分布期望和方差的定义求法)

参考文献：茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2004，3.

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