1.数学期望

（1）数学期望定义

离散型随机变量数学期望

定义1 设离散型随机变量 X X X的分布律为 P ( X = x i ) = p i , i = 1 , 2... P(X=x_i)=p_i,i=1,2... P(X=xi)=pi,i=1,2...，若级数 ∑ i = 1 + ∞ ∣ x i ∣ p i \sum^{+\infin}_{i=1}\mid x_i\mid p_i ∑i=1+∞∣xi∣pi收敛，则称 ∑ i = 1 + ∞ x i p i \sum^{+\infin}_{i=1} x_i p_i ∑i=1+∞xipi为 X X X的数学期望。记为 E ( X ) E(X) E(X)。即：
E X = ∑ i = 1 + ∞ x i p i 。 EX=\sum^{+\infin}_{i=1} x_i p_i。 EX=i=1∑+∞xipi。
连续型随机变量数学期望

定义2 设连续型随机变量 X X X的密度函数为 p ( x ) , p(x), p(x),若积分 ∑ − ∞ + ∞ ∣ x ∣ p ( x ) d x < + ∞ \sum_{-\infin}^{+\infin}\mid x \mid p(x)dx < +\infin ∑−∞+∞∣x∣p(x)dx<+∞，则称 ∑ − ∞ + ∞ x p ( x ) d x \sum_{-\infin}^{+\infin}x p(x)dx ∑−∞+∞xp(x)dx为 X X X的数学期望或均值，记为 E X EX EX。即：
E X = ∑ − ∞ + ∞ x p ( x ) d x 。 EX=\sum_{-\infin}^{+\infin}x p(x)dx。 EX=−∞∑+∞xp(x)dx。

（2）常用分布的数学期望

1. 0-1分布

X X X	0	1
P P P	1 − p 1-p 1−p	p p p

E ( X ) = 0 ∗ ( 1 − p ) + 1 ∗ p . E(X)=0 * (1-p)+1 * p. E(X)=0∗(1−p)+1∗p.

2. 二项分布

X ∼ B ( n , p ) X\sim B(n,p) X∼B(n,p)，其中 0 < p < 1 0<p<1 0<p<1，则：
E ( X ) = n p . E(X)=np. E(X)=np.
证明：
P { x = k } = C n k p k ( 1 − p ) n − k E ( X ) = ∑ k = 0 n k P ( X = k ) = ∑ k = 1 n k n ! k ! ( n − k ) ! p k ( 1 − p ) n − k = ∑ k = 1 n n ! ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! p k ( 1 − p ) n − k = n p ∑ k = 1 n ( n − 1 ) ! ( k − 1 ) ! ( n − k ) ! p k − 1 ( 1 − p ) n − 1 − ( k − 1 ) 令 s = k − 1 , n p ∑ s = 0 n − 1 C n − 1 s p s ( 1 − p ) n − 1 − s = n p . P\{x=k\}=C_n^{k}p^k(1-p)^{n-k} \\ E(X)=\sum_{k=0}^{n}kP(X=k)=\sum_{k=1}^{n}k\frac{n!}{k!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}\\ =\sum_{k=1}^{n}\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}\\ = np\sum_{k=1}^{n}\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}(1-p)^{n-1-(k-1)}\\ 令s=k-1,\\ np\sum_{s=0}^{n-1}C^{s}_{n-1}p^{s}(1-p)^{n-1-s}=np. P{x=k}=Cnkpk(1−p)n−kE(X)=k=0∑nkP(X=k)=k=1∑nkk!(n−k)!n!pk(1−p)n−k=k=1∑n(k−1)!(n−k)!n!pk(1−p)n−k=npk=1∑n(k−1)!(n−k)!(n−1)!pk−1(1−p)n−1−(k−1)令s=k−1,nps=0∑n−1Cn−1sps(1−p)n−1−s=np.

3. 泊松分布

X ∼ P ( λ ) X\sim P(\lambda) X∼P(λ)，其中 λ > 0 \lambda>0 λ>0，则 E ( X ) = λ E(X)=\lambda E(X)=λ。

证明：
P { X = k } = λ k k ! e − λ , k = 0 , 1 , 2 , . . . , ∴ E ( X ) = ∑ k = 0 ∞ k ⋅ λ k k ! e − λ = ∑ k = 1 ∞ k ⋅ λ k k ! e − λ = ∑ k = 1 ∞ λ ⋅ λ k − 1 ( k − 1 ) ! e − λ = λ ⋅ ∑ k = 1 ∞ λ k − 1 ( k − 1 ) ! e − λ m = k − 1 , ∴ λ ⋅ ∑ m = 0 ∞ λ m m ! e − λ = λ ⋅ 1 = λ P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,...,\\ \therefore E(X)=\sum_{k=0}^{\infin}k \cdot \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}=\sum_{k=1}^{\infin}k\cdot\frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda}\\ =\sum_{k=1}^{\infin} \frac{\lambda\cdot\lambda^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda}=\lambda\cdot\sum_{k=1}^{\infin}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}e^{-\lambda}\\ m=k-1,\therefore\lambda\cdot\sum_{m=0}^{\infin}\frac{\lambda^{m}}{m!}e^{-\lambda}=\lambda\cdot1=\lambda P{X=k}=k!λke−λ,k=0,1,2,...,∴E(X)=k=0∑∞k⋅k!λke−λ=k=1∑∞k⋅k!λke−λ=k=1∑∞(k−1)!λ⋅λk−1e−λ=λ⋅k=1∑∞(k−1)!λk−1e−λm=k−1,∴λ⋅m=0∑∞m!λme−λ=λ⋅1=λ
注意， ∑ m = 0 ∞ λ m m ! \sum_{m=0}^{\infin}\frac{\lambda^{m}}{m!} ∑m=0∞m!λm为 e λ e^\lambda eλ的幂级数展开式。

4. 均匀分布

若 X ∼ U ( a , b ) X\sim U(a,b) X∼U(a,b)，则 E ( x ) = a + b 2 E(x)=\frac{a+b}{2} E(x)=2a+b。

证明：

X X X的密度： p ( x ) = { 1 b − a , a<x<b 0 , 其他 p(x)=\left\{ \begin{aligned} \frac{1}{b-a},&\text{a<x<b}\\ 0,&\text{其他} \\ \end{aligned} \right. p(x)=⎩ ⎨ ⎧b−a1,0,a<x<b其他
E ( X ) = ∫ a b x ⋅ 1 b − a d x = a + b 2 . E(X)=\int^{b}_{a}x\cdot\frac{1}{b-a}dx=\frac{a+b}{2}. E(X)=∫abx⋅b−a1dx=2a+b.

5. 指数分布

X ∼ E ( λ ) X\sim E(\lambda) X∼E(λ)， λ > 0 \lambda>0 λ>0，则 E ( X ) = 1 λ E(X)=\frac{1}{\lambda} E(X)=λ1。

证明：

p ( x ) = { λ e − λ x , x > 0 0 , x ≤ 0 p(x)=\left\{ \begin{aligned} \lambda e^{-\lambda x},&x>0\\ 0,& x\leq 0 \\ \end{aligned} \right. p(x)={λe−λx,0,x>0x≤0
E ( X ) = ∫ 0 ∞ x λ e − λ x d x = − ∫ 0 ∞ x d e − λ x = − x e − λ x ∣ 0 ∞ + ∫ 0 ∞ e − λ x d x = 1 λ . E(X)=\int_{0}^{\infin}x\lambda e^{-\lambda x}dx = -\int_{0}^{\infin}xde^{-\lambda x}\\ =-xe^{-\lambda x}\mid_{0}^{\infin}+\int^{\infin}_{0}e^{-\lambda x}dx = \frac{1}{\lambda}. E(X)=∫0∞xλe−λxdx=−∫0∞xde−λx=−xe−λx∣0∞+∫0∞e−λxdx=λ1.

6.正态分布

X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\sim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2)，则 E ( X ) = μ E(X)=\mu E(X)=μ.

证明：
E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x ⋅ 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x E(X)=\int_{-\infin}^{+\infin}x\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx E(X)=∫−∞+∞x⋅2π σ1e−2σ2(x−μ)2dx
令 x − μ σ = u \frac{x-\mu}{\sigma}=u σx−μ=u，
E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ ( u σ + μ ) ⋅ 1 2 π e − u 2 2 = σ 2 π ∫ − ∞ + ∞ u e − u 2 2 d u + μ ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π e − u 2 2 d u = 0 + μ ∗ 1 = μ E(X)=\int_{-\infin}^{+\infin}(u\sigma+\mu)\cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^2}{2}}\\ =\frac{\sigma}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infin}^{+\infin}ue^{-\frac{u^2}{2}}du +\mu\int^{+\infin}_{-\infin}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{u^2}{2}}du\\ =0+\mu * 1 = \mu\\ E(X)=∫−∞+∞(uσ+μ)⋅2π 1e−2u2=2π σ∫−∞+∞ue−2u2du+μ∫−∞+∞2π 1e−2u2du=0+μ∗1=μ

7. 几何分布

X ∼ 参数为p的几何分布 X\sim \text{参数为p的几何分布} X∼参数为p的几何分布， E ( X ) = 1 p E(X)=\frac{1}{p} E(X)=p1。

证明：
P { X = k } = p ( 1 − p ) k − 1 k = 1 , 2 , . . . P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1}\qquad k=1,2,... P{X=k}=p(1−p)k−1k=1,2,...

E ( X ) = ∑ k = 1 ∞ k p ( 1 − p ) k − 1 = x = 1 − p p ∑ p + ∞ k x k − 1 = p ∑ k = 1 + ∞ ( x k ) ′ = p ( ∑ k = 1 + ∞ x k ) ′ = p ( x 1 − x ) ′ = p 1 ( 1 − x ) 2 = x = 1 − p 1 p E(X)=\sum_{k=1}^{\infin}kp(1-p)^{k-1}=^{x=1-p}p\sum_p^{+\infin}kx^{k-1}\\ =p\sum_{k=1}^{+\infin}(x^k)^{'}=p(\sum_{k=1}^{+\infin}x^k)^{'}\\ =p(\frac{x}{1-x})^{'}=p\frac{1}{(1-x)^2}=^{x=1-p}\frac{1}{p} E(X)=k=1∑∞kp(1−p)k−1=x=1−ppp∑+∞kxk−1=pk=1∑+∞(xk)′=p(k=1∑+∞xk)′=p(1−xx)′=p(1−x)21=x=1−pp1

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