概率分布有两种类型：离散(discrete)概率分布和连续(continuous)概率分布。

离散概率分布也称为概率质量函数(probability mass function)。离散概率分布的例子有伯努利分布(Bernoulli distribution)、二项分布(binomial distribution)、泊松分布(Poisson distribution)和几何分布(geometric distribution)等。

连续概率分布也称为概率密度函数(probability density function)，它们是具有连续取值(例如一条实线上的值)的函数。正态分布(normal distribution)、指数分布(exponential distribution)和β分布(beta distribution)等都属于连续概率分布。

1、两点分布(伯努利分布)

伯努利试验：

伯努利试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。

即只先进行一次伯努利试验，该事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p。这是一个最简单的分布，任何一个只有两种结果的随机现象都服从0-1分布。

最常见的例子为抛硬币

其中，

期望E = p

方差D = p*(1-p)^2+(1-p)*(0-p)^2 = p*(1-p)

2、二项分布(n重伯努利分布)(X~B(n,p))

即做n个两点分布的实验

其中，

E = np

D = np(1-p)

对于二项分布，可以参考https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.binom.html

二项分布的应用场景主要是，对于已知次数n，关心发生k次成功。

，即为二项分布公式可求。

对于抛硬币的问题，做100次实验，观察其概率分布函数：

from scipy.stats import binom

import matplotlib as mpl

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

## 设置属性防止中文乱码

mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']

mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

首先导入库函数以及设置对中文的支持

fig,ax = plt.subplots(1,1)

n = 100

p = 0.5

#平均值, 方差, 偏度, 峰度

mean,var,skew,kurt = binom.stats(n,p,moments='mvsk')

print mean,var,skew,kurt

#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X

观察概率分布图，可以看到，对于n = 100次实验中，有50次成功的概率(正面向上)的概率最大。

3、几何分布(X ～ GE(p))

在n次伯努利实验中，第k次实验才得到第一次成功的概率分布。其中：P(k) = (1-p)^(k-1)*p

E = 1/p  推到方法就是利用利用错位相减法然后求lim - k ->无穷

D = (1-p)/p^2  推到方法利用了D(x) = E(x)^2-E(x^2)，其中E(x^2)求解同上

几何分布可以参考：https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.geom.html#scipy.stats.geom

fig,ax = plt.subplots(1,1)

p = 0.5

#平均值, 方差, 偏度, 峰度

mean,var,skew,kurt = geom.stats(p,moments='mvsk')

print mean,var,skew,kurt

#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X

因此，可以看到，对于抛硬币问题，抛个两三次就能成功。

4、泊松分布(X~P(λ))

描述单位时间/面积内，随机事件发生的次数。P(x = k) = λ^k/k!*e^(-λ)   k = 0,1,2, ...    λ >0

泊松分布可作为二项分布的极限而得到。一般的说，若  ，其中n很大，p很小，因而  不太大时，X的分布接近于泊松分布

 。

λ：单位时间/面积下，随机事件的平均发生率

E = λ

D = λ

譬如：某一服务设施一定时间内到达的人数、一个月内机器损坏的次数等。

假设某地区，一年中发生枪击案的平均次数为2。

fig,ax = plt.subplots(1,1)

mu = 2

#平均值, 方差, 偏度, 峰度

mean,var,skew,kurt = poisson.stats(mu,moments='mvsk')

print mean,var,skew,kurt

#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X

因此，一年内的枪击案发生次数的分布如上所示。

与二项分布对比：

fig,ax = plt.subplots(1,1)

n = 1000

p = 0.1

#平均值, 方差, 偏度, 峰度

mean,var,skew,kurt = binom.stats(n,p,moments='mvsk')

print mean,var,skew,kurt

#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X

5、均匀分布(X~U(a,b))

对于随机变量x的概率密度函数：

则称随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布。

E = 0.5(a+b)

D = (b-a)^2 / 12

均匀分布在自然情况下极为罕见，而人工栽培的有一定株行距的植物群落即是均匀分布。这表明X落在[a,b]的子区间内的概率只与子区间长度有关，而与子区间位置无关，因此X落在[a,b]的长度相等的子区间内的可能性是相等的，所谓的均匀指的就是这种等可能性。

落在某一点的概率都是相同的

若[x1,x2]是[a,b]的任一子区间，则

P{x1≤x≤x2}=(x2-x1)/(b-a)

这表明X落在[a,b]的子区间内的概率只与子区间长度有关，而与子区间位置无关。

fig,ax = plt.subplots(1,1)

loc = 1

scale = 1

#平均值, 方差, 偏度, 峰度

mean,var,skew,kurt = uniform.stats(loc,scale,moments='mvsk')

print mean,var,skew,kurt

#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X

6、指数分布X~ E(λ)

E = 1/λ

D = 1/λ^2

fig,ax = plt.subplots(1,1)

lambdaUse = 2

loc = 0

scale = 1.0/lambdaUse

#平均值, 方差, 偏度, 峰度

mean,var,skew,kurt = expon.stats(loc,scale,moments='mvsk')

print mean,var,skew,kurt

#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X

指数分布通常用来表示随机事件发生的时间间隔，其中lambda和poisson分布的是一个概念(我认为)，不知道为什么知乎上：https://www.zhihu.com/question/24796044，他们为啥说这俩不一样呢？我觉得这两种分布的期望肯定不一样啊，一个描述发生次数，一个描述两次的时间间隔，互为倒数也是应该的啊。

指数分布常用来表示旅客进机场的时间间隔、电子产品的寿命分布(需要高稳定的产品，现实中要考虑老化的问题)

指数分布的特性：无记忆性

比如灯泡的使用寿命服从指数分布，无论他已经使用多长一段时间，假设为s，只要还没有损坏，它能再使用一段时间t 的概率与一件新产品使用时间t 的概率一样。

这个证明过程简单表示：

P(s+t| s) = P(s+t , s)/P(s) = F(s+t)/F(s)=P(t)

7、正态分布(X~N(μ，σ^2))

E = μ

D = σ^2

正态分布是比较常见的，譬如学生考试成绩的人数分布等

fig,ax = plt.subplots(1,1)

loc = 1

scale = 2.0

#平均值, 方差, 偏度, 峰度

mean,var,skew,kurt = norm.stats(loc,scale,moments='mvsk')

print mean,var,skew,kurt

#ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X

补充：

大数定理：

随着样本的增加，样本的平均数将接近于总体的平均数，故推断中，一般会使用样本平均数估计总体平均数。

大数定律讲的是样本均值收敛到总体均值

中心极限定理：

独立同分布的事件，具有相同的期望和方差，则事件服从中心极限定理。他表示了对于抽取样本，n足够大的时候，样本分布符合x~N(μ,σ^2)

中心极限定理告诉我们，当样本量足够大时，样本均值的分布慢慢变成正态分布