　　线性代数提供了被称为逆矩阵（matrix inversion）的强大工具。对于大多数矩阵A，我们都能通过矩阵逆解析地求解式Ax=bAx=b。

8.3.1 单位矩阵

　　为了描述矩阵逆，首先需要定义单位矩阵（identity matrix）的概念。任意向量和单位矩阵相乘，都不会改变。我们将保持nn维向量不变的单位矩阵记作InI_n。形式上，In∈Rn×nI_n\in R^{n\times n}，

∀x∈Rn,Inx=x(8.20)

\forall x \in R^n,I_nx=x\quad(8.20)

　　单位矩阵的结构很简单：
　　1. 它是“正方形”（行数与列数相同）
　　2. 所有沿主对角线的元素都是1，而所有其他位置的元素都是0

⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥

\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\0&0&1 \end{bmatrix}

8.3.2 逆矩阵概念

　　矩阵AA的逆矩阵（matrix inversion）记作A−1A^{-1}，其定义的矩阵满足如下条件：

A−1A=In(8.21)

A^{-1}A=I_n\quad(8.21)
　　其实矩阵的逆矩阵跟倒数的性质一样，不过只是我们习惯用 A−1A^{-1}表示。而倒数可以表示成 1/x1/x或者 x−1x^{-1}的形式，而不能把 AA的逆矩阵写成1/A1/A的形式，其主要原因是矩阵不能被除。
　　为了理解矩阵的逆，其和倒数还有其他相似之处：

当我们将一个数乘以它的倒数我们得11。1×(1/8)=11 \times (1/8) = 1
当一个矩阵乘以逆时，我们得到了单位矩阵。A×A−1=IA \times A^{-1}=I
矩阵与逆矩阵乘法与数乘一样，交换位置结果不变(1/8)×8=1(1/8) \times 8 = 1，即乘法满足交换律A−1×A=IA^{-1}\times A= I

8.3.3 行列式和求解逆矩阵

　　以二维矩阵为例，其逆矩阵求解公式如下：

[acbd]−1=1ad−bc[d−c−ba]

{\begin{matrix} \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}^{-1}= \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d&-b \\ -c&a \end{bmatrix} \end{matrix}}
　　换句话说：交换a和b的位置，将负数置于b和c的前面，并将所有元素除以行列式（ad-bc）。由于0不能为除数，因此判断一个矩阵是否为逆的要条件就是行列式是否为0。矩阵的行列式计为det（determinatnt的缩写），其意义就是决定因子，即决定逆矩阵是否存在。

det[acbd]≠0⇔[acbd]−1

{\begin{matrix} det \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} \neq 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix} ^{-1} \end{matrix}}

　　例题：

　　利用逆矩阵的概念逆推，即将矩阵乘以逆矩阵，最终求得单位矩阵。

8.3.4 求解矩阵方程

　　矩阵中没有被除的概念，而矩阵的逆，可以解决“矩阵除法”的问题。假如我们没有“除法”规则，那么解决“把10个苹果分给两个人”的问题，可以采取2的倒数（12=0.5\frac{1}{2}=0.5）来计算，那么答案就是10×0.5=510 \times 0.5 = 5，也就是每个人5个苹果。
　　我们也可以利用以上方法，已知矩阵AA和矩阵BB，求解矩阵XX。即XA=BXA = B。最好的方法是直接除以AA，得到X=B/AX=B/A，但事实上我们不能直接除以AA。但我们可以在公式两边都乘以A−1A^{-1}。即XAA−1=BA−1XAA^{-1}=BA^{-1}。
　　因为AA−1=IAA^{-1}= I ，所以就得到XI=BA−1XI=BA^{-1}。而此时单位矩阵II可以直接去掉，于是求得X=BA−1X=BA^{-1}。因此通过A−1A^{-1}，就可以直接计算出矩阵XX。

例题：
有一个几个家庭组团出去旅行，出发的时候是乘坐大巴，每位儿童3元，每个大人3.2元，一共花费了118.4元。在回程时，他们选择乘坐火车，每名儿童3.5元，每名成人3.6元，总计135.20元。求解有多少儿童和大人？

　　我们尝试用矩阵思维来解答，首先设置好矩阵（注意矩阵的行和列是否正确）：

　　然后求解AA的逆矩阵：

　　根据公式X=BA−1X=BA^{-1}，求解XX。

　　根据求解所得，一共有1616个儿童和2222个大人。这样的计算其实非常有利于工程师设计建筑物，视频游戏和计算机动画等许多地方，它是解线性方程组的一种解法。虽然是求矩阵的逆，只要打开Python工具的NumPy库，输入numpy.inv(A)，即可求得A<script type="math/tex" id="MathJax-Element-283">A</script>的逆矩阵。虽然这个过程是由计算机完成，但我们还是有必要去了解公式，因为这正是数学的美妙之处。

8.3 单位矩阵和逆矩阵相关推荐

机器学习中的数学——单位矩阵和逆矩阵
分类目录:<算法设计与分析>总目录线性代数提供了被称为矩阵逆的强大工具.对于大多数矩阵A,我们都能通过矩阵逆解析地求解方程组: A x = b Ax=b Ax=b 为了描述矩阵逆,我们首 ...
单位矩阵的逆矩阵是它本身吗_矩阵运算、单位矩阵与逆矩阵(二）
逆矩阵什么是逆矩阵? 数有倒数: 逆矩阵也是相同的概念,但我们写为A-1 逆矩阵的定义计算逆矩阵我们怎么知道计算结果是正确的? 我们把矩阵和逆矩阵相乘来看看: 我们为什么需要逆矩阵,举个例子: ...
理解逆矩阵理解单位矩阵
目录理解逆矩阵理解单位矩阵理解逆矩阵 a/b(当b不为0的时候有意义):同理你理解逆矩阵就是与矩阵成导数关系. 那么行列式的值不为0,就说明逆矩阵存在,这样就合情合理了. 首先,我们先来看看这个 ...
单位矩阵的逆| 使用Python的线性代数
Prerequisites: 先决条件: Defining a Matrix 定义矩阵 Identity Matrix 身份矩阵 There are matrices whose inverse is ...
MIT多变量微积分--3.矩阵，逆矩阵
文章目录 1.叉积的应用 2.矩阵 3.如何理解矩阵与向量的乘法 4.单位矩阵与逆矩阵 1.叉积的应用上一篇文章证明了det(A,B,C)=以A,B,C为临边的平行六面体的体积若平面上有P1,P2 ...
OpenCv Mat -类成员函数
先从最简单的学起来 1.mat.cols() mat 矩阵的列数,和矩阵的通道数无关 new Mat(10,20,CvType.CV_8UC2) mat.cols==20 2.mat.row ...
unity shader入门精要_shader入门数学基础矩阵篇
一,简单介绍下几个概念. 1)线性空间: 实际上就是向量空间,一切的计算都是合理且符合数学规律的.例如在线性空间中1+1 = 2.在非线性空间中,1+1=0.7.这个例子很好解释了线性空间的概念.Ga ...
线性分组码的最小汉明距为6_第二章线性代数
2.1 标量.向量.矩阵和张量标量(scalar) 一个标量就是一个单独的数,用斜体表示标量. 向量(vector) 一个向量是一列有序排列的数,用粗写的小写字母表示. 矩阵(matrix) 矩阵式 ...
“花书”的佐餐，你的线性代数笔记
原作:Hadrien Jean 线性栗子编译自 GitHub 量子位出品 | 公众号 QbitAI 最近,巴黎高等师范学院的博士生Hadrien Jean,整理了关于深度学习"花书&qu ...

8.3 单位矩阵和逆矩阵

8.3.1 单位矩阵

8.3.2 逆矩阵概念

8.3.3 行列式和求解逆矩阵

8.3.4 求解矩阵方程

8.3 单位矩阵和逆矩阵相关推荐

最新文章

热门文章