高等数学期末总复习 DAY6.洛必达求极限、不等式单调性证明、判断拐点、曲率以及曲率半径

DAY6.

少因为自己一点点的努力就轻易感动自己

文章目录

DAY6.
- 1.洛必达求极限
- 2.不等式单调性的证明
- 3.判断拐点
- 4.曲率以及曲率半径

1.洛必达求极限

一般求00,∞∞\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}00,∞∞型的极限时，我们使用洛必达定理：lim⁡f(x)g(x)=lim⁡f′(x)g′(x)\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}limg(x)f(x)=limg′(x)f′(x)

当然只有当函数满足下列三个条件时才能使用洛必达。

lim⁡f(x)g(x)=00或者∞∞\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}或者\frac{\infty}{\infty}limg(x)f(x)=00或者∞∞
f′(x),g′(x)存在f'(x),g'(x)存在f′(x),g′(x)存在
lim⁡f′(x)g′(x)\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}limg′(x)f′(x)存在

当我们使用洛必达定理时会遇到一些不是属于标准的00,∞∞\frac{0}{0},\frac{\infty}{\infty}00,∞∞型极限，如 0∗∞0* \infty0∗∞ 、∞−∞\infty-\infty∞−∞、∞0或者0∞\infty^0 或者 0^\infty∞0或者0∞

下面介绍将不标准的极限型转换为标准型：

0∗∞0* \infty0∗∞ 可以转换为: 01∞\frac{0}{\frac{1}{\infty}}∞10、或者∞10\frac{\infty}{\frac{1}{0}}01∞

∞−∞\infty - \infty∞−∞可以通分化简

∞0或者0∞\infty^0 或者 0^\infty∞0或者0∞ 可以转换为：eln⁡0∞e^{\ln0^{\infty}}eln0∞形式

1∞1^{\infty}1∞型可以转换为：eln⁡1∞e^{\ln1^{\infty}}eln1∞形式

2.不等式单调性的证明

其实这种题目在高中的时候我们经常写实质在我看来还没有改变

例题

当 X > 0 时，证明： 1+12x>(1+x)1 + \frac{1}{2}x > \sqrt(1+x)1+21x>(1+x)

解：令 F(x)=1+12x−(1+x)F(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \sqrt(1+x)F(x)=1+21x−(1+x)

要证明：当 X > 0 时，1+12x>(1+x)1 + \frac{1}{2}x > \sqrt(1+x)1+21x>(1+x)

即证，当 X > 0 时F(x)=1+12x−(1+x)>0F(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \sqrt(1+x) >0F(x)=1+21x−(1+x)>0

因为F′(x)=12−12(1+x)F'(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \sqrt(1+x)}F′(x)=21−2(1+x)1 = 12(1−1(1+x))\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{\sqrt(1+x)})21(1−(1+x)1)

又因为 x > 0 所以：1−1(1+x)>01 - \frac{1}{\sqrt(1+x)} >01−(1+x)1>0 恒成立

即当 x>0,F′(x)>0x>0,F'(x)>0x>0,F′(x)>0 函数为增函数

且F(x)>F(0)=0F(x) > F(0) = 0F(x)>F(0)=0

所以当 X > 0 时，1+12x>(1+x)1 + \frac{1}{2}x > \sqrt(1+x)1+21x>(1+x)

3.判断拐点

拐点处 f′′(x)一定=0f''(x) 一定 = 0f′′(x)一定=0 且在拐点左右 f′′(x)f''(x)f′′(x) 异号

例题

判断 y=xe−xy = xe^{-x}y=xe−x 的拐点

解：

y′′=xe−x−2e−xy'' = xe^{-x} - 2e^{-x}y′′=xe−x−2e−x = e−x(x−2)e^{-x}(x - 2)e−x(x−2)

当y′′=0y'' = 0y′′=0 时 X = 2

又因为当X < 2时 y’’ < 0 ; 当X > 2, y’’ > 0

所以函数的拐点为：(2,2e−2)(2,2e^{-2})(2,2e−2) 请注意拐点一定是一个点，这样才是正确答案。

4.曲率以及曲率半径

在此只介绍公式

k=∣y′′∣(1+y′2)32k = \frac{|y''|}{(1+ y'^{2})^{\frac{3}{2}}}k=(1+y′2)23∣y′′∣

曲率半径 ρ=1k\rho = \frac{1}{k}ρ=k1

即曲率半径为曲率的倒数