实对称矩阵的几个性质

2024-05-11 01:04:39

性质 1

设一个实对称矩阵 XXX (X∈SnX\in S^nX∈Sn)，它的最大特征值为 λmax\lambda_{max}λmax，则满足性质：
∀y∈Rn,∥y∥2=1⟹yTXy≤λmax\forall y\in R^n, \|y\|_2=1\quad \Longrightarrow\quad y^TXy\leq \lambda_{max} ∀y∈Rn,∥y∥2=1⟹yTXy≤λmax

证明：

根据实对称矩阵的另外一个性质：
X=QTΛQX=Q^T\Lambda QX=QTΛQ
其中， QQQ 为正交矩阵，即 QTQ=IQ^TQ=IQTQ=I，而 Λ\LambdaΛ 为特征根的对角线矩阵。
yTXy=yTQTΛQy=UTΛU(U=Qy)=λ1u12+λ2u22+⋯+λnun2≤λmax(u12+⋯+un2)=λmaxUTU=λmaxyTQTQy=λmaxyTy=λmax\begin{aligned} y^T X y=& y^T Q^T \Lambda Qy \\ =&U^T \Lambda U\quad (U=Qy) \\ =& \lambda_1 u_1^2+\lambda_2 u_2^2+\dots +\lambda_n u_n^2 \\ \leq & \lambda_{max}(u_1^2+\dots + u_n^2) \\ =&\lambda_{max}U^TU \\ =& \lambda_{max}y^T Q^TQy \\ =& \lambda_{max} y^Ty=\lambda_{max} \end{aligned} yTXy===≤===yTQTΛQyUTΛU(U=Qy)λ1u12+λ2u22+⋯+λnun2λmax(u12+⋯+un2)λmaxUTUλmaxyTQTQyλmaxyTy=λmax

证毕. □\Box□

其实用到了谱分解。

其他性质

实对称矩阵的特征根也为实数，特征向量为实向量。特别的，实对称矩阵 AATAA^TAAT 的特征根都为非负数。（特征根全部大于零才可逆）
实对称矩阵不同特征根对应的特征向量相互正交。
实对称矩阵都可以正交对角化，即正交对角化，即对于实对称矩阵 AAA，存在一个正交矩阵 P\bf PP 以及对角线矩阵 ∧\bf \land∧，使得**
A=P∧PTA=P\wedge P^T A=P∧PT
K 重特征根必有 K 个线性无关的特征向量。

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