洛谷-P1883-函数最小值

原题：
题目描述
给定n个二次函数f1(x),f2(x),…,fn(x)（均形如ax^2+bx+c），设F(x)=max{f1(x),f2(x),…,fn(x)}，求F(x)在区间[0,1000]上的最小值。

输入输出格式
输入格式：
输入第一行为正整数T，表示有T 组数据。

每组数据第一行一个正整数n,接着n行，每行3个整数a,b,c ，用来表示每个二次函数的3个系数，注意二次函数有可能退化成一次。

输出格式：
每组数据输出一行，表示F(x)的在区间[0,1000]上的最小值。答案精确到小数点后四位，四舍五入。

输入输出样例
输入样例#1：
2
1
2 0 0
2
2 0 0
2 -4 2
输出样例#1：
0.0000
0.5000
说明
【数据范围】

T < 10， n ≤ 10000,0 ≤ a ≤ 100，|b| ≤ 5000, |c| ≤ 5000
题解：
转载自
观察题目图像得F(x)函数是一个下凸函数。即对于任意的x1<x2<x3，不存在F(x1)<F(x2)>F(x3)，根据这个定义，我们可以通过三分法求该函数的最值。注：本人的三分法是自己推算来的，效率可能不高，请大家谅解！

随便画出二次函数的一段（二次函数是一个特殊的下凸函数），我们发现一个下凸函数其上四个点无非有以下几种情况：

设下凸函数上四个点横坐标分别为x1<x2<x3<x4，并且我们已经确定该函数的最小值在[x1,x4]之间

若F(x1)<F(x2)，则函数的最小值的x的取值范围一定在[x1,x2]之间，因为根据定义，若有F(x1)<F(x2)，必有F(x1)<F(x2)<F(x3)<F(x4)；

若F(x3)>F(x4)，同理可得，函数最小值的取值范围一定是在[x3,x4]之间。

若F(x1)>F(x2)&&F(x2)<F(x3)，则函数的最小值的x的取值范围一定在[x1,x3]之间，因为下凸函数有且仅有一个低谷，并且下凸函数的最小值在低谷中。

若F(x4)>F(x3)&&F(x3)<F(x2)，同理，函数最小值的取值范围一定在[x2,x4]之间。

最后就只剩下一种情况了，此时函数最小值的取值范围一定在[x2,x3]之间。
附上自己写的代码：

#include <iostream>
#include <iomanip>
using namespace std;
int t,n,a[10005],b[10005],c[10005];
double fun(double x)
{double res=-1000000,ans;for(int i=0;i<n;++i){ans=a[i]*x*x+b[i]*x+c[i];res=res>ans?res:ans;}return res;
}
int main()
{cin>>t;while(t--){double l=0,m1,m2,r=1000;cin>>n;for(int i=0;i<n;++i)cin>>a[i]>>b[i]>>c[i];while(l+1e-10<r){m1=(l+l+r)/3;m2=(r+r+l)/3;double v1,v2,v3,v4;v1=fun(l),v2=fun(m1),v3=fun(m2),v4=fun(r);if(v1<v2) r=m1;else if(v3>v4)l=m2;else if(v1>v2&&v2<v3) r=m2;else if(v2>v3&&v3<v4) l=m1;else {l=m1,r=m2;}}cout<<fixed<<setprecision(4)<<fun(l)<<endl;}return 0;
}

此题对于数学思维有一定要求，需要仔细去琢磨。

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