数论 GCD 最大公约数欧拉函数经典题洛谷 CF1295D Same GCDs Codeforces1295D

前言

两个月了，我终于更了……

这两个月忙（chen）于（mi）内（xiang）卷（le），现在终于出新文章啦，（也算兑现了当初的出数论题文章的承诺）~

不说废话了，今天给大家介绍一道CF/洛谷上的数论题———CF1295D Same GCDs/1295D #81 Problem D。

这是一道相当不错的题，很考验选手的思维能力以及数学基础，先贴个题面~

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题目描述

You are given two integers aaa and mmm . Calculate the number of integers xxx such that 0≤x<m0≤x<m0≤x<m and gcd(a,m)gcd(a, m)gcd(a,m) = gcd(a+x,m)gcd(a + x, m)gcd(a+x,m).

Note: gcd(a, b) is the greatest common divisor of aaa and bbb .

输入格式

The first line contains the single integer TTT(1≤T≤501≤T≤501≤T≤50) — the number of test cases.

Next T lines contain test cases — one per line. Each line contains two integers aaa and mmm (1≤a<m≤10101≤a<m≤10^{10}1≤a<m≤1010) .

输出格式

Print TTT integers — one per test case. For each test case print the number of appropriate xxx -s.

题意翻译

求 ∑i=1n[gcd(a,m)=gcd(a+x,m)]\displaystyle\sum_{i=1}^n[ gcd(a,m)=gcd(a+x,m) ]i=1∑n[gcd(a,m)=gcd(a+x,m)]

多组测试数据, T≤50,1≤a<m≤10T≤50, 1≤a<m≤10T≤50,1≤a<m≤10

输入输出样例

输入 #1

3
4 9
5 10
42 9999999967

输出 #1

6
1
9999999966

说明/提示

In the first test case appropriate xxx -s are [0,1,3,4,6,70, 1, 3, 4, 6, 70,1,3,4,6,7].

In the second test case the only appropriate xxx is 000 .

解题思路

那么，看完题目，第一反应肯定是这题正解绝对不是用暴力，真要暴力的话你会在某Online Judge得到优秀的40pts
所以，我们要费点功夫，处理一下这个式子。

前置芝士 ———欧拉函数

是的，这题也绕不开欧拉，那么，什么是欧拉函数呢？
定义：在数论中，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目。
贴张书照———

（出自长乐一中董永建老师团队所撰书籍《信息学奥赛一本通高效进阶》，侵删。）
那么，简单来讲，欧拉函数φ(n)\varphi(n)φ(n)就表示小于nnn又与nnn互质的数的数量。
几个基本性质：

设nnn=pkp^{k}pk,其中n,kn,kn,k为正整数，ppp为质数，则有φ(n)=pk−pk−1\varphi(n)=p^{k}-p^{k-1}φ(n)=pk−pk−1
设n,mn,mn,m为正整数，gcd(n,m)gcd(n,m)gcd(n,m)=1，则有φ(nm)=φ(n)∗φ(m)\varphi(nm)=\varphi(n)*\varphi(m)φ(nm)=φ(n)∗φ(m)

如何计算φ(n)\varphi(n)φ(n)呢？请看：φ(n)=n∗∑i=1n(1−1pi)\varphi(n)=n*\displaystyle\sum_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})φ(n)=n∗i=1∑n(1−pi1)
用代码实现即为：

long long ans=n;
for (int i=2;i<=sqrt(n);i++) {//寻找因数if (n%i==0) n/=i,ans=ans/i*(i-1);//这里做去分母处理，否则会因精度问题WAwhile (n%i==0) n/=i;//除尽此因数if (n>1) {//计算时有可能会出现一个未除的m的质因子，出现m>1 ,说明还剩一个质因子没除ans=ans/n*(n-1);}cout << ans << endl;
}

现在，切入正题~

当然，只有欧拉函数是不足以解这题的，还要用到关于gcdgcdgcd的两个定理：

∀n,m∈N,m≤n,gcd(n,m)=gcd(m,n−m)=gcd(n,n−m)(更相减损术)\forall n,m \in \Nu,m≤n,gcd(n,m)=gcd(m,n-m)=gcd(n,n-m)(更相减损术)∀n,m∈N,m≤n,gcd(n,m)=gcd(m,n−m)=gcd(n,n−m)(更相减损术)
∀n,m∈N\forall n,m \in \Nu∀n,m∈N,设gcd(n,m)=kgcd(n,m)=kgcd(n,m)=k，gcdgcdgcd ( nk\frac{n}{k}kn,mk\frac{m}{k}km) === 111

开始推导：
设gcd(a,m)=gcd(a+x,m)=k设gcd(a,m)=gcd(a+x,m)=k设gcd(a,m)=gcd(a+x,m)=k
则gcd(a+xk,mk)=1则gcd( \frac{a+x}{k},\frac{m}{k})=1则gcd(ka+x,km)=1
分以下两种情况讨论：分以下两种情况讨论：分以下两种情况讨论：
1.当a+xk<mk时:1.当\frac{a+x}{k}<\frac{m}{k}时:1.当ka+x<km时:
则求[ak,mk)这个区间内与mk互质的数则求[\frac{a}{k},\frac{m}{k})这个区间内与\frac{m}{k}互质的数则求[ka,km)这个区间内与km互质的数
2.当a+xk>mk时:2.当\frac{a+x}{k}>\frac{m}{k}时:2.当ka+x>km时:
∵gcd(a+xk,mk)=1\because gcd( \frac{a+x}{k},\frac{m}{k})=1∵gcd(ka+x,km)=1
∴gcd(a+x−mk,mk)=1\therefore gcd( \frac{a+x-m}{k},\frac{m}{k})=1∴gcd(ka+x−m,km)=1
则求[0,ak)这个区间内与mk互质的数则求[0,\frac{a}{k})这个区间内与\frac{m}{k}互质的数则求[0,ka)这个区间内与km互质的数
结合以上两种情况知：即求[0,mk)这个区间内与mk互质的数结合以上两种情况知：即求[0,\frac{m}{k})这个区间内与\frac{m}{k}互质的数结合以上两种情况知：即求[0,km)这个区间内与km互质的数
即求φ(mk)即求\varphi(\frac{m}{k})即求φ(km)
推导完毕推导完毕推导完毕
现在，我们通过式子变形，明确了我们解决该题的方法。那么，问题就很简单了。这道看似无从下手的题，转化成了求一个欧拉函数的问题。
好了，上代码，解释都在代码里：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t;
long long a, m;
int main() {cin >> t;while (t--) {scanf("%lld%lld",&a,&m);long long k = __gcd(a, m);//gcd函数m/=k;//除去最大公约数long long ans=m;//记得开long longfor (int i=2;i<=sqrt(m);i++) {//欧拉函数模板if (m%i==0) m/=i,ans=ans/i*(i-1);while (m%i==0) m/=i;}if (m>1) {ans=ans/m*(m-1);}cout << ans << endl; }return 0;
}

完结撒花……（等我先总个结）

总结

说实话，我在模拟赛做这题时，真的很懵，后来也是推导了很久才想出正解（蒻）。这题考验选手的知识储备，思维能力以及熟练运用知识的能力，对码力要求其实并不高，是一道数论好题。这题也可以用其他方法解，比如莫比乌斯反演，在我接下来的文章可能也会提到。最后，祝大家（当然也包括本蒟蒻）CSP RP++！
（再等等）
大家觉得CSP各题会出什么样的算法呢？（求各路大佬为本蒟蒻指点迷津qwq）