记

今天闲来无事，不想刷codeforces了，到洛谷提高组训练营找几道水题刷着玩玩（虽然自己早已过了打OI的年纪）～

简单博弈论专题

P1199 三国游戏

这么考虑，由于电脑总是不能让我搭配出当前能搭配出的最大的组合，也就是说我不管选哪个英雄，都不可能匹配出该英雄能搭配出的最大的默契值，那么我最大能搭配出的默契值就是所有英雄匹配中，次大默契值的最大值。
假设有a、b、c、da、b、c、da、b、c、d四位英雄
aaa能匹配的最大值为aM" role="presentation" style="position: relative;">aMaMa_{M}次大值为amama_m
bbb能匹配的最大值为bM" role="presentation" style="position: relative;">bMbMb_{M}次大值为bmbmb_m
ccc能匹配的最大值为cM" role="presentation" style="position: relative;">cMcMc_{M}次大值为cmcmc_m
ddd能匹配的最大值为dM" role="presentation" style="position: relative;">dMdMd_{M}次大值为dmdmd_m

假设其中am>bm>cm>dmam>bm>cm>dma_m>b_m>c_m>d_m

那么我能得到的最大可能值也就是amama_m了。
下面证明，电脑能组合出的最大值一定比amama_m要小。
那么我一开始选择aaa，电脑一定会选择与a" role="presentation" style="position: relative;">aaa能形成aMaMa_M的值的英雄，假设是ddd。
然后我再选c" role="presentation" style="position: relative;">ccc，这里假设c与a组合得到amc与a组合得到amc与a组合得到a_m。
那么电脑会选择bbb。
反证法开始了：
假设d与b形成的默契值t>am>dm" role="presentation" style="position: relative;">d与b形成的默契值t>am>dmd与b形成的默契值t>am>dmd与b形成的默契值t>a_m>d_m
而d与a形成的默契值为aM>am>dmd与a形成的默契值为aM>am>dmd与a形成的默契值为a_M>a_m>d_m
这样的话dmdmd_m不可能是ddd能匹配到的次大值,矛盾。
所以t<am" role="presentation" style="position: relative;">t<amt<amt 本次电脑不会选择到比amama_m更大的数。
随后我们只需要破坏掉电脑构造成最大的组合就可以了。

int sg(int x,int y){if(x == 1 && y == 1)return 0;if(x%2 && y%2)return 0;if(x%2) swap(x,y);if(y%2 == 0){return sg(x/2,y/2)+1;}else{return sg(x,y+1);}
}

P1247 取火柴游戏

简单的不像话，跟上面的题难度一样，方法也一样，求sg函数，然后异或。
不同的地方是，这个要求第一步的方案。

在必胜态的时候，异或得到的值为ans。
我们第一步要做的就是拿掉一堆中的某些火柴，然后使异或值变为0。
假设我们要拿掉第i堆的某些火柴，那么这一堆应该剩下的火柴的数目就是ansansans xor n[i]n[i]n[i]，拿走的火柴数目就是n[i]−n[i]−n[i] - (ansansans xor n[i]n[i]n[i])。
从小到达枚举堆数，找一个合法的情况就好了。

P2575 高手过招

这到也是sg函数➕异或。
不得不说sg函数是博弈论的大杀器呀。
求sg函数的方法就不说了，注意的点：

这题要用到位运算，压缩状态，不然时间、空间可能不够。
开O2！！！

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <cstring>
#include <unordered_map>
using namespace std;
const int maxn = 2e6;
int T,n,m;
int sg[maxn];
int grundy(int status){if(sg[status] != -1)return sg[status];unordered_map<int,int> mp;for(int i = 19;i > 0;--i){if(!(status&(1<<i))) continue;int j = i-1;for(;j >= 0;--j)if(!(status&(1<<j)))break;if(j == -1) continue;mp[grundy(status ^ ((1<<i) + (1<<j)))] = 1;;}for(int i = 0;;i++){if(!mp[i])return sg[status] = i;}
}
int main(){cin>>T;memset(sg,-1,sizeof(sg));while(T--){scanf("%d",&n);int ans = 0;for(int i = 1;i <= n;++i){scanf("%d",&m);int status = 0;for(int j = 1;j <= m;++j){int p;scanf("%d",&p);status |= 1<<(20-p);}ans ^= grundy(status);}if(ans) puts("YES");else puts("NO");}return 0;
}

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闲来无事刷水题、简单博弈论专题、sg函数、洛谷

记

简单博弈论专题

P1199 三国游戏

P1288 取数游戏II

P1290 欧几里德的游戏

P2148 [SDOI2009]E&D

P1247 取火柴游戏

P2575 高手过招

代码

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