高效的组合数计算方法
计算组合数最大的困难在于数据的溢出,对于大于150的整数n求阶乘很容易超出double类型的范围,那么当C(n,m)中的n=200时,直接用组合公式计算基本就无望了。另外一个难点就是效率。
对于第一个数据溢出的问题,可以这样解决。因为组合数公式为:
C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)
为了避免直接计算n的阶乘,对公式两边取对数,于是得到:
ln(C(n,m)) = ln(n!)-ln(m!)-ln((n-m)!)
进一步化简得到:
这样我们就把连乘转换为了连加,因为ln(n)总是很小的,所以上式很难出现数据溢出。
为了解决第二个效率的问题,我们对上式再做一步化简。上式已经把连乘法变成了求和的线性运算,也就是说,上式已经极大地简化了计算的复杂度,但是还可以进一步优化。从上式中,我们很容易看出右边的3项必然存在重复的部分。现在我们把右边第一项拆成两部分:
这样,上式右边第一项就可以被抵消掉,于是得到:
上式直接减少了2m次对数计算及求和运算。但是这个公式还可以优化。对于上面公式里的求和,当m<n/2时,n-m是一个很大的数,但是当m>n/2时,n-m就会小很多。我们知道:
C(n,m) = C(n,n-m)
那么通过这个公式,我们可以把小于n/2的m变为大于n/2的n-m再进行计算,结果是一样的,但是却能减少计算量。
当计算出ln(C(n,m))后,只需要取自然对数,就可以得到组合数:
C(n,m) = exp(ln(C(n,m)))
这样就完成了组合数的计算。
用这种方法计算组合数,如果只计算ln(C(n,m))的话,n可以取到整型数据的极限值65535,
ln(C(65535,32767)) = 45419.6
而计算时间只需要0.01ms。当然,如果要取对数得到最终的组合数的话,n的取值就不能达到这么大了。但是这种算法仍然可以保证n取到1000以上,而不是开头说的150这个极限值。例如:
C(1000,500) = 2.70288e+299
计算时间仍然小于0.01ms。
采用我这种算法,不仅n的取值范围大,而且计算速度高,不像用递归算法实现这个问题的时候,很容易陷入递归层次太深而导致计算时间太长。
算法代码实现如下:
double lnchoose(int n, int m){ if (m > n) { return 0; }if (m < n/2.0) { m = n-m; } double s1 = 0;for (int i=m+1; i<=n; i++) { s1 += log((double)i); } double s2 = 0;int ub = n-m;for (int i=2; i<=ub; i++) { s2 += log((double)i); } return s1-s2;} double choose(int n, int m){ if (m > n) { return 0; }return exp(lnchoose(n, m));}
摘自:http://blog.sina.com.cn/s/blog_4298002e0100eko0.html
有一个用欧几里得扩展算法计算的大数取模计算方法,比较实用
#include<cstdio>
#include<memory>
using namespace std;
const int mod=10007;
int a[mod];
void init()
{
int i;
a[0]=1;
for(i=1;i<mod;i++)
a[i]=(a[i-1]*i)%mod;
}
int gcd(int a,int b){
if(b==0) return a;
return gcd(b,a%b);
}
void e_gcd(int a,int b,int &x,int &y) //扩展欧几里得定理:解ax+by==1。
{
if(!b)
{
x=1;
y=0;
}
else
{
e_gcd(b,a%b,x,y);
int l=x;
x=y;
y=l-a/b*y;
}
}
int choose(int n,int m)
{
if(m>n)
return 0;
else if(n==m)
return 1;
int nn=a[n],mm=(a[m]*a[n-m])%mod;
int d=gcd(nn,mm);
nn/=d;
mm/=d;
int x,y;
e_gcd(mm,mod,x,y);
x=(x+mod)%mod;
return (x*nn)%mod;
}
int main( )
{
int t;
scanf("%d",&t);
init();
while(t--)
{
int e[100],f[100];
int i=0,j,m,n;
memset(e,0,sizeof(e));
memset(f,0,sizeof(f));
scanf("%d %d",&n,&m);
while(n>0)
{
e[i++]=n%mod;
n=n/mod;
}
int len=i;
i=0;
while(m>0)
{
f[i++]=m%mod;
m=m/mod;
}
int re=1;
for(i=0;i<len;i++)
{
re=(re*choose(e[i],f[i]))%mod;
}
printf("%d\n",re%mod);
}
return 0;
}
/********************************************/
转载于:https://www.cnblogs.com/liushang0419/archive/2011/09/30/2196457.html
高效的组合数计算方法相关推荐
- Python版组合数计算方法优化思路和源码
总体说明:本文的优化思路并不局限于Python,但C.C++.C#.Java等语言无法使用内置类型直接表示大整数,需要通过数组等特定形式并自己实现大整数乘除法才能实现,因此本文只介绍Python语言的 ...
- Python计算组合数生成杨辉三角形
在杨辉三角形中,第n行第i列的数字恰好等于组合数C(n,i),其中n和i都从0开始,n=0表示第一行,i=0表示第一列. 在下面的代码中,修饰器lru_cache的作用是给函数cni增加缓存,减少重复 ...
- 三种Fibonacci数列第n项计算方法及其优劣分析
感谢国防科技大学刘万伟老师和中国传媒大学胡凤国两位老师提供的思路,文章作者不能超过8个字符,我的名字就写个姓吧,名字不写了^_^.另外,除了本文讨论的三种方法,之前的文章中还讨论了另外几种方法,详见相 ...
- 组合数求法、卡特兰数
一.组合数的计算方法 首先组合和排列数的定义在高中阶段已经知晓,这里主要探讨在算法竞赛中的应用.首先,我们通常把 C n m C_{n}^{m} Cnm写成 ( n m ) \tbinom{n}{m ...
- Python查找所有类似于123-45-67+89 = 100的组合
问题描述:在123456789这9个数字中间插入任意多个+和-的组合,使得表达式的值为100,输出所有符合条件的表达式. 基本思路:9个数字之间共有8个可插入加号或减号的位置,根据这些位置对9个数字进 ...
- 数学老师从没这么教过,乘法竖式中进位可以是多位(附Python实现与测试源码)...
大概十五年前,曾经写过一个C语言版本的类似代码.核心思想是:在乘法竖式计算过程中,每次的进位实际上是可以超过一位的,虽然老师从来没有这么教过. 这样的操作在Python中是没有必要的,因为Python ...
- 使用Python+pillow绘制矩阵盖尔圆
盖尔圆是矩阵特征值估计时常用的方法之一,其定义为: 与盖尔圆有关的两个定理为: 定理1:矩阵A的所有特征值均落在它的所有盖尔圆的并集之中. 定理2:将矩阵A的全体盖尔圆的并集按连通部分分成若干个子集, ...
- Python实现大自然数分解为最多4个平方数之和(1)
问题描述:任意大自然数,总是能分解为最多4个平方数的和,所谓平方数是指它是一个自然数的平方.例如:72884 = 4^2 + 138^2 + 232^2,33788 = 1^2 + 3^2 + 17^ ...
- 使用Python模拟蒙蒂霍尔悖论游戏
假设你正参加一个有奖游戏节目,并且有3道门可选:其中一个后面是汽车,另外两个后面是山羊.你选择一个门,比如说1号门,主持人当然知道每个门后面是什么并且打开了另一个门,比如说3号门,后面是一只山羊.然后 ...
最新文章
- R语言使用table1包绘制(生成)三线表、使用单变量分列构建三线表、编写自定义三线表结构(将因子变量细粒度化重新构建三线图)、为不同的变量显示不同的统计信息
- 细胞因子风暴与新冠肺炎
- seata 如何开启tcc事物_如何能在实战中完成分布式事务?知道这些点很重要
- [云炬创业基础笔记]第七张创业团队测试1
- C语言写个贪吃蛇游戏
- mysql 社区版密码如何修改_如何用优雅的方法修改MySQL root密码
- 3个图表突出数据显示小技巧,帮你一秒锁定关键信息
- 台湾一公司因停电,让员工手写代码...
- Cesium入门-3-官方完整实例
- Spring 2.5 jar 所有开发包及完整文档及项目开发实例
- 轻量级网络模型之MobileNet系列
- 在没有上传服务器端的情况下看到上传图片的效果图window.createObjectURL
- [转]MSSQL查询优化
- win7 安装SQL Server 2005 开发版 图文教程
- Pytorch:目标检测网络-非极大值抑制(NMS)
- VVC之SCC(一):IBC
- 大数据技术应用需要注意什么?
- instantDrag for Maya脚本 (移动模型时沿目标模型移动)
- ZYNQ开发系列——ZYNQ系统的搭建
- 驱动开发:运用VAD隐藏R3内存思路
热门文章
- server2016做文件服务器,『配置』服务器搭建 Office Online Server2016 实现文档预览 番外 错误篇...
- JavaScript学习随记——常见全局对象属性及方法
- 160 - 17 bjanes.3
- leetcode 51. N 皇后 思考分析
- go zap去除程序名称_适用于Zip,Zap和Zoom游戏的Python程序
- linux内核设计与实现---从内核出发
- uva 10285——Longest Run on a Snowboard
- python 异步与io
- php显示时间,php实现用已经过去多长时间的方式显示时间
- 为github帐号添加SSH keys