逻辑回归评分卡分数映射

本文转自https://github.com/xsj0609/data_science/tree/master/ScoreCard

一、评分卡逻辑

　信贷业务评估的是客户的客户违约率（Percent of Default）即PD，是[0,1]的概率，比如2%即100个客户中有2个违约，简称为p。

　评分卡中不直接用客户违约率p，而是用违约概率与正常概率的比值，称为Odds，即
Odds=p1−pOdds=\frac{p}{1-p}Odds=1−pp
p=Odds1+Oddsp=\frac{Odds}{1+Odds}p=1+OddsOdds
　评分卡的背后逻辑是Odds的变动与评分变动的映射（把Odds映射为评分），分值是根据Odds的前提条件算出来的，不是人工取的。以单个客户在整张评分卡的得分的变动（比如评分从50分上升到70分）来反映Odds的变动（比如Odds从5%下降至1.25%），以及背后相对应的客户违约率PD的变动（比如从4.8%下降到1.2%）。违约率PD不直观、业务看起来不方便、不便计算，而评分就很直观、便于计算。如图所示。

二、评分映射公式

　Odds映射为评分的公式为：
Score=A−Blog(p1−p)Score=A-Blog(\frac{p}{1-p})Score=A−Blog(1−pp)
<1> 预设条件
　要算出系数A、B的话，需要从业务角度先预设两个前提条件：

在某个特定的比率θ0θ_0θ0设定特定的预期分值P0P_0P0
指定比率翻番时分数的变动值（PDO）

解释：

比如根据业务经验，消费金融信贷的客户违约率4.8%算正常（θ0θ_0θ0=Odds=5）。预设评分卡的分值为0-100分，那取预期分值P0P_0P0为50分，并指定当Odds按双倍上下浮动时（比如2.5%或10%），分值则对应上下变动10分（比如60分或40分）。

这里=5%是根据业务经验来的，没有数学依据；

0-100分是根据做评分卡的需要来的，没有数学依据。要是想做成600-1000分的评分卡也可以，修改对应的P0P_0P0和PDO就行；

P0P_0P0=50分是根据0-100分来的，也可以取45分或73分，不重要。重要的是随着Odds翻番变动时，分数也随之变动的联动变化体系（你翻番我就变PDO=10分）

<2> 求解A、B
　设定好θ0θ_0θ0、P0P_0P0、PDO后，联动变化为：Odds(θ0θ_0θ0)对应的分值为P0P_0P0，且翻番的Odds(2θ02θ_02θ0)对应的分值为P0P_0P0+PDO。则有以下两式：
P0=A−Blog(θ0)P_0=A-Blog(θ_0)P0=A−Blog(θ0)
P0+PDO=A−Blog(2θ0)P_0+PDO=A-Blog(2θ_0)P0+PDO=A−Blog(2θ0)
解出A、B为：
B=PDOlog(2)B=\frac{PDO}{log(2)}B=log(2)PDO
A=P0+Blog(θ0)A=P_0+Blog(θ_0)A=P0+Blog(θ0)

按上面的解释举个例子：
设θ_0、P_0、PDO为5%、50分、10分，则
B=10ln(2)=14.43B=\frac{10}{ln(2)}=14.43B=ln(2)10=14.43
A=50+14.43∗ln(0.05)=6.78A=50+14.43*ln(0.05)=6.78A=50+14.43∗ln(0.05)=6.78
则
Score=6.78−14.43∗log(p1−p)Score=6.78-14.43*log(\frac{p}{1-p})Score=6.78−14.43∗log(1−pp)
<3> 完整的对应关系表
　按照公式，可以把所有Odds（p1−p\frac{p}{1-p}1−pp）和客户评分、客户违约概率（PD）的对应关系算出来

　该关系对应表应该算信用评分卡的核心思想了，评分是外层表现，客户违约率是内层核心，Odds是中间层转换计算

三、Odds映射X变量

log(p1−p)=β0+β1x1+β2x2+...++βnxnlog(\frac{p}{1-p})=β_0+β_1x_1+β_2x_2+...++β_nx_nlog(1−pp)=β0+β1x1+β2x2+...++βnxn

即
p=11+e−βTxp=\frac{1}{1+e^-β^Tx}p=1+e−βTx1
　这样就可以根据变量x和系数的的值计算出违约概率p了。

四、X变量细分到分组

　我们要做的是分组评分卡，X是要对应到每个分组，得到各变量分组的评分然后相加得到客户总评分的，那就还需要将X打散到各分类（用离散型数据入逻辑回归模型）。因此这里的输入X就不能是原始变量，而是原始变量分箱并算WOE后的woe值（类似离散变量中各类别的数值化），即：
Score=A−B[β0+β1(δ11w11+δ12w12+δ13w13)+β2(δ21w21+δ22w22+δ23w23+δ24w24)+...+βn(δn1wn1+δn2wn2]Score=A-B[β_0+β_1(δ_{11}w_{11}+δ_{12}w_{12}+δ_{13}w_{13})+β_2(δ_{21}w_{21}+δ_{22}w_{22}+δ_{23}w_{23}+δ_{24}w_{24})+...+β_n(δ_{n1}w_{n1}+δ_{n2}w_{n2}]Score=A−B[β0+β1(δ11w11+δ12w12+δ13w13)+β2(δ21w21+δ22w22+δ23w23+δ24w24)+...+βn(δn1wn1+δn2wn2]
　假设类别型变量x1x_1x1、x2x_2x2、x3x_3x3分别有3、4、2个分类（数值型变量先分箱成类别型变量） δijδ_{ij}δij代表第i个变量的第j个分类，客户数据参与评分时，某个变量x只会有1个数，只会对应一个分类。比如，变量x1x_1x1的取值是第2个分类的话，那δ12δ_{12}δ12为1，则第二个分类的woew12w_12w12值生效，x1x_1x1的其他两个δδδ则为0，对应的其他两个分类的woe值无效不参与计算。

五、生成评分卡

　将上面的公式变下形式，变成最终可以组成评分卡的样式

　A、B已经算出，βββ是逻辑回归模型的输出系数，β0β_0β0是逻辑回归模型的输出截距项，w是分箱后的woe值。至此评分卡就可以生成了。

【作者】：Labryant
【原创公众号】：风控猎人
【简介】：某创业公司策略分析师，积极上进，努力提升。乾坤未定，你我都是黑马。
【转载说明】：转载请说明出处，谢谢合作！~