洛谷 U87052 一线天

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题目背景

\(JDFZ\)即将举办第一届“一线天”趣味运动会......

题目描述

“一线天”运动会在\(JLU\)南岭校区（这个地方对\(Seaway\)很重要）举行，因为那个地方有许多狭窄的道路...“一线天”的游戏规则如下：比赛场地内有\(N\)个点，\(M\)条边，点与点之间有很多宽窄不一的道路（宽度为\(V_i\)）。选手参赛时会被指定从某一个起点\(P\)出发到达另一个终点\(Q\)。他所走的路径中如果有一条边比自己的宽度窄（意思就是他太胖了），他就不能通过这条道路，是为“一线天”。

\(Seaway\)最近被女朋友嘲笑发胖，伤心之下，他决定破罐子破摔，于是他报名参加了这场\(Anti-fatty\)的比赛。他要参加\(K\)场比赛，为了证明他并不胖，他想知道，每次比赛中能允许通过的最大身体宽度是多少。

输入格式

输入文件的第一行包含两个整数\(N,M\)，描述比赛场地。接下来的\(M\)行，每行有三个整数\(X,Y,V\)，表示从\(X\)到\(Y\)之间有一条宽度为\(V\)的双向边。然后的一行是一个整数\(K\)，表示\(Seaway\)要参加\(K\)场比赛，接下来的\(K\)行，每行有两个整数\(P,Q\)，表示\(Seaway\)每场比赛的起止点。

输出格式

输出有\(K\)行，第\(i\)行有一个整数，表示\(Seaway\)在第\(i\)场比赛中可能的最大身体宽度。

提示：

数据范围与约定：

对于\(30 \%\)的数据，\(1\le N\le 1000,1\le M\le 10000,1\le K\le 10000\)

对于\(60\%\)的数据，\(1\le N\le 1000,1\le M\le 50000,1\le K\le 10000\)

对于\(100\%\)的数据，\(1\le N\le 10000,1\le M\le 50000,1\le K\le 30000,1\le V_i\le 10^6\)

题解：

LCA问题的一种变形。

题目大意就是：有一张连通图，边权表示通过这条边的限制，问每一次询问的时候他能走的最窄边的边权是多少。

两点间的路径一定存在于图的最大生成树上，而我们要求两点间最长边的最小值，但是两个节点想要互相到达，一定要通过他们共同的祖先，针对于这道题，就是要求被询问两点的最近公共祖先。

当然要加入边权数组来求答案。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define INF 999999999
using namespace std;
int n,m,q,tot,cnt;
int fa[10001],head[10001],f[10001][21],w[10001][21],v[10001],deep[10001];
struct node
{int x,y,z;
}e[100001];
struct tree
{int to,nxt,val;
}t[100001];
bool cmp(node a,node b)
{return a.z>b.z;
}
int find(int x)
{if(fa[x]==x)return x;return fa[x]=find(fa[x]);
}
void add(int x,int y,int z)
{t[++tot].to=y;t[tot].val=z;t[tot].nxt=head[x];head[x]=tot;
}
void dfs(int x)
{v[x]=1;for(int i=head[x];i;i=t[i].nxt){int y=t[i].to;if(v[y]==1)continue;deep[y]=deep[x]+1;f[y][0]=x;w[y][0]=t[i].val;dfs(y);}
}
int lca(int x,int y)
{if(find(x)!=find(y))return -1;int ans=INF;if(deep[x]>deep[y])swap(x,y);for(int i=20;i>=0;i--)if(deep[f[y][i]]>=deep[x]){ans=min(ans,w[y][i]);y=f[y][i];}if(x==y)return ans;for(int i=20;i>=0;i--)if(f[x][i]!=f[y][i]){ans=min(ans,min(w[x][i],w[y][i]));x=f[x][i];y=f[y][i];}return ans=min(ans,min(w[x][0],w[y][0]));
}
int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=m;i++){int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);e[i].x=x;e[i].y=y;e[i].z=z;}sort(e+1,e+m+1,cmp);for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;for(int i=1;i<=m;i++){int fx=find(e[i].x);int fy=find(e[i].y);if(fx!=fy){add(e[i].x,e[i].y,e[i].z);add(e[i].y,e[i].x,e[i].z);fa[fx]=fy;}}for(int i=1;i<=n;i++)if(v[i]==0){deep[i]=1;dfs(i);}for(int i=1;i<=20;i++)for(int j=1;j<=n;j++){f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];w[j][i]=min(w[j][i-1],w[f[j][i-1]][i-1]);}scanf("%d",&q);for(int i=1;i<=q;i++){int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);printf("%d\n",lca(x,y));}return 0;
}