[计算机数值分析]牛顿插值公式

埃特金算法虽然具有承袭性，但其算式时递推型的，不便于理论上的分析。所以采用具有承袭性的显式的牛顿插值公式是不错的选择。
见下图：

按照差商的表达式，如果调换两个节点的顺序，只是意味着改变式子求和的顺序，其值不变。

例：已知节点 (0,1)(2,3)(3,2)(5,5) ,构造三次Newton 插值多项式，当 x = 2.5 时，计算 Newton 多项式插值结果。
解：由前面计算的差商值，我们很容易写出三次 Newton 插值多项式如下：

运行示例：

源码：

#include<iostream>
using namespace std;#define MAX 10typedef struct Point  //插值节点信息结构体
{double x;double y;
}point;int main(void)
{int n;   //插值节点个数double x;point p[MAX];   //定义结构体数组cout << "请输入插值节点的个数:";cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++)   //将节点信息存入结构体数组{cout << "请输入第" << i << "个点的坐标:";cin >> p[i].x;cin >> p[i].y;}cout << "请输入x的值:";   //输入x提示cin >> x;double item, sum;  //item为每一项的值，等于各阶差商与右半部分的乘积;sum为牛顿插值的最终解sum = 0;   //对每一项值累加,作为最终牛顿插值的解for (int i = 1; i <= n; i++)   //有n项，循环n次{double differenceCoefficient = 0;   //对差商赋初值0double right = 1;   //对右半部分赋初值1if (i == 1)   //根据牛顿插值公式，第一项为f(x1)即0阶差商,直接继续求二阶差商{item = p[1].y;sum += item;continue;}//求右边部分即(x-x1),(x-x1)(x-x2)......for (int j = 1; j < i; j++){right *= (x - p[j].x);}double temp, leftSum;   //temp表示分子与分母之商即各阶差商里面的一项;leftSum为左半部分之和即各阶差商里各项的值也即最终差商differenceCoefficientdouble numerator;   //分子//赋初值leftSum = 0;//求左边部分leftSum即f(x1,x2),f(x1,x2,x3)......也即差商differenceCoefficientfor (int k = 1; k <= i; k++){double denominator = 1;   //每次循环赋分母初值为1if (i == 1 && k == 1)   //i=1时不处理，直接退出{leftSum = 1;break;}numerator = p[k].y;   //求差商过程中，里面每一项的分子for (int m = 1; m <= i; m++){if (m == k){continue;}denominator *= (p[k].x - p[m].x);   //累乘分母}temp = numerator / denominator;   //求分子与分母之商，求得组成差商的每一项leftSum += temp;   //累加组成差商的每一项，最终结果为差商differenceCoefficient}differenceCoefficient = leftSum;   //值赋给差商item = differenceCoefficient * right;   //求第i项的值，即牛顿插值公式中的每一项sum += item;   //累加的最终牛顿插值解}cout << "\n运用牛顿插值法求得f(x)=" << sum << endl;return 0;
}

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