陶哲轩实分析 命题7.2.9 绝对收敛判别法
设$\displaystyle\sum_{n=m}^{\infty}a_n$是实数的形式级数,如果这个级数是绝对收敛的,那么它是条件收敛的.
证明:该级数绝对收敛,说明对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在整数$N$,使得对于一切$p,q\geq N$,有
$$\sum_{n=p}^{q}|a_n|<\varepsilon$$
而
$$|\sum_{n=p}^{q}a_n|\leq\sum_{n=p}^{q}|a_n|<\varepsilon$$
因此条件收敛.
关键是书上说在这种情形下还有三角不等式
$$|\sum_{n=m}^{\infty}a_n|\leq\sum_{n=m}^{\infty}|a_n|$$
下面我就来证明这个三角不等式.
对于任意整数$N$,
$$|\sum_{n=m}^{N}a_n|\leq\sum_{n=m}^{N}|a_n|$$
我们知道,
$$\sum_{n=m}^{\infty}a_n=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=m}^{N} a_n$$
且$$\sum_{n=m}^{\infty}|a_n|=\lim_{N\to\infty}\sum_{n=m}^N|a_n|$$.
事实上,我们有一个常见结论,即两个收敛的数列$(a)_{n=m}^{\infty}$和$(b)_{n=m}^{\infty}$,若$\forall i\in\mathbb{Z},i\geq m$,$a_i\leq b_i$,则$\lim_{n\to\infty}a_n\leq \lim_{n\to\infty}b_n$.因此
$$|\sum_{n=m}^{\infty}a_n|\leq\sum_{n=m}^{\infty}|a_n|$$
转载于:https://www.cnblogs.com/yeluqing/archive/2012/11/02/3827843.html
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