陶哲轩实分析命题 8.2.6 证明

设$X$是任意的集合（可以是不可数的),并设$f:X\to \mathbb{R}$和$g:X\to\mathbb{R}$是函数.使得$\sum_{x\in X}f(x)$和$\sum_{x\in X}g(x)$是绝对收敛的.则级数$\sum_{x\in X}(f(x)+g(x))$是绝对收敛的，并且$$\sum_{x\in X}(f(x)+g(x))=\sum_{x\in X}f(x)+\sum_{x\in X}g(x)$$

证明：$\sum_{x\in X}f(x)$与$\sum_{x\in X}g(x)$绝对收敛，意味着对于$X$中任意的有限集合$A$,都有$\sum_{x\in A}|f(x)|\leq M$,$\sum_{x\in A}|g(x)|\leq N$.则$$\sum_{x\in A}|f(x)+g(x)|\leq\sum_{x\in A}|f(x)|+\sum_{x\in A}|g(x)|\leq M+N$$因此级数$\sum_{x\in X}(f(x)+g(x))$是绝对收敛的(根据陶哲轩实分析引理8.2.3).然后看$\sum_{x\in X:f(x)\neq 0}(f(x)+g(x))$.$(f(x)+g(x))_{x\in X:f(x)\neq 0}$是一个可数集.显然$$\sum_{x\in X:f(x)\neq 0}(f(x)+g(x))=\sum_{x\in X:f(x)\neq 0}f(x)+\sum_{x\in X:f(x)\neq 0}g(x)=\sum_{x\in X}f(x)+\sum_{x\in X}g(x)$$

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