陶哲轩实分析 2.3节习题试解

最近从网上下载到了陶哲轩写的实分析，确实是本好书。不过所有的习题都没有给出答案。我试着自己做一遍习题，整理了一份习题解答。放到这里，希望对大家有用。

2.3.1 证明乘法是交换的（ n×m=m×n n \times m = m \times n）

先证明引理 1: m×0=0 m \times 0 = 0。

数学归纳法：

当 m=0 m = 0 时， 0×0=0 0 \times 0 = 0，成立。

假设当 m=n m = n 时 n×0=0 n \times 0 = 0 成立。

那么，当 m=n++ m = n++ 时：

n++×0=n×0+0=0

n++ \times 0 = n \times 0 + 0 = 0

证毕

再证明引理 2: m×(n++)=m×n+m m \times (n++) = m \times n + m

数学归纳法：

当 m=0 m = 0 时， 0×(n++)=0 0 \times (n++) = 0，成立。

假设当 m=m′ m = m' 时 m′×(n++)=m′×n+m′ m' \times (n++) = m' \times n + m' 成立。

那么，当 m=m′++ m = m'++ 时：

(m′++)×(n++)=m′×(n++)+(n++)=m′×n+m′+(n++)=m′×n+n+(m′++)=(m′++)×n+(m′++)

\begin{align} (m'++) \times (n++) &= m' \times (n++) + (n++)\\&= m' \times n + m' + (n++)\\&= m' \times n + n + (m'++) \\&= (m'++) \times n + (m'++) \end{align}

证毕

至此，可以证明这道题了。还是数学归纳法：

当 m=0 m = 0 时， 0×n=0=n×0 0 \times n = 0 = n \times 0。（这里用到了引理1）

假设当 m=m′ m = m' 时， m′×n=m×m′ m' \times n = m \times m'

那么当 m=m′++ m = m'++ 时。

(m′++)×n=m′×n+n=n×m′+n=n×(m′++)

\begin{align} (m'++) \times n &= m' \times n + n\\&= n \times m' + n\\&= n \times (m'++) \end{align}

证毕

2.3.2 证明正自然数没有 0 因子

先证明若 n n 和 mm 都是正的，则 n×m n\times m 也是正的。

数学归纳法：

当 n=1 n = 1 时, 1×m=m 1 \times m = m 是正的。

假设当 n=p n = p 时， p×m>0 p \times m > 0。

则，当 n=p++ n = p++ 时，

(p++)×m=p×m+m>0

(p++) \times m = p \times m + m > 0

这里应用到了命题 2.2.8 正数+自然数还是正数。

之后证明 n×m=0 n \times m = 0 当且仅当 n n 和 mm 至少有一个等于 0.

先证明 n×m=0⟹ n \times m = 0 \Longrightarrow n n 和 mm 至少有一个等于 0 0。

反证法：如果 nn 和 m m 都是正的，则 n×mn\times m 也是正的，与 n×m=0 n \times m = 0 矛盾。所以 n×m=0⟹ n \times m = 0 \Longrightarrow n n 和 mm 至少有一个等于 0 0。

再证明 nn 和 m m 至少有一个等于 00 ⟹n×m=0 \Longrightarrow n \times m = 0

设 n=0 n = 0, n×m=0×m=0 n \times m = 0 \times m = 0

若 m=0 m = 0, n×m=m×n=0×n=0 n \times m = m \times n = 0 \times n = 0

证毕

2.3.3 证明乘法是结合的

证明： (a×b)×c=a×(b×c) (a \times b) \times c = a \times (b \times c)

数学归纳法：

当 a=0 a = 0 时 (0×b)×c=0 (0 \times b) \times c = 0

假设当 a=m a = m 时， (m×b)×c=m×(b×c) (m \times b) \times c = m \times (b \times c)

当 a=m++ a = m++ 时，

((m++)×b)×c=(m×b+b)×c=(m×b)×c+b×c=m×(b×c)+b×c=(m++)×(b×c)

((m++) \times b) \times c \\ = (m \times b + b) \times c \\ = (m \times b) \times c + b \times c\\ = m \times (b \times c) + b \times c\\ = (m++) \times (b \times c)

证毕

2.3.4 证明 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)^2 = a^2 + 2 ab + b^2 对一切自然数成立

(a+b)2=(a+b)×(a+b)=(a+b)×a+(a+b)×b=a×(a+b)+b×(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2

\begin{align} (a+b)^2 &= (a+b)\times (a+b)\\ &= (a + b) \times a + (a + b) \times b\\ &= a \times (a+b) + b \times (a+b)\\ &= a^2 + ab + ba + b^2\\ &= a^2 + 2ab + b^2 \end{align}

2.3.5 证明欧几里德算法

设 n n 是自然数，qq 是正数，那么存在自然数 m m 和 rr，使得 0≤r<q 0 \leq r ，且 n=mq+r n = mq+r。

数学归纳法

当 n=0 n = 0 时， m=0,r=0 m = 0, r = 0

假设对于 n=n′ n = n' 时命题成立，存在 m′ m' 和 r′ r' 满足 n′=m′q+r′ n' = m' q + r'

那么当 n=n′+1 n = n' + 1 时：

n′+1=m′q+r′+1

n' + 1 = m' q + r' + 1

这时又分成两种情况。

(1) r′+1<q r' + 1 ，此时 m=m′,r=r′+1 m = m', r = r' + 1 满足 0≤r<q 0 \leq r ，且 n=mq+r n = mq+r。

(2) r′+1=q r' + 1 = q，此时 m=m′+1,r=0 m = m' + 1, r = 0 满足 0≤r<q 0 \leq r ，且 n=mq+r n = mq+r。

所以对任意的自然数 n <script type="math/tex" id="MathJax-Element-85">n</script>，命题都成立