矩阵树定理--luoguP4208 [JSOI2008]最小生成树计数

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以前用dfsdfsdfs做的，用基尔霍夫矩阵真的玄啊

首先这道题有这么几个定理：（来自Z-Y-Y-S的博客）
定理一：如果 A,BA, BA,B 同为 GGG 的最小生成树，且 AAA 的边权从小到大为 w(a1),w(a2),w(a3),⋯w(an)w(a_1), w(a_2), w(a_3), \cdots w(a_n)w(a1),w(a2),w(a3),⋯w(an)，BBB 的边权从小到大为 w(b1),w(b2),w(b3),⋯w(bn)w(b_1), w(b_2), w(b_3), \cdots w(b_n)w(b1),w(b2),w(b3),⋯w(bn)，则有 w(ai)=w(bi)w(a_i) = w(b_i)w(ai)=w(bi)。
证明：设 A,BA, BA,B 第一个不同的边的下标为 iii，不妨设 w(ai)≤w(bi)w(a_i) \le w(b_i)w(ai)≤w(bi)，如果不存在这样的 iii，无需证明。
情况一：aia_iai 在 BBB 中，为 bjb_jbj。那么显然有 j>ij>ij>i（否则 iii 不是第一个不同的边），则有 w(ai)≤w(bi)≤w(bj)=w(ai)w(a_i)\le w(b_i) \le w(b_j) = w(a_i)w(ai)≤w(bi)≤w(bj)=w(ai)，所以有 w(ai)=w(bi)=w(bj)w(a_i) = w(b_i) = w(b_j)w(ai)=w(bi)=w(bj)，所以可以调换 bi,bjb_i, b_jbi,bj 的位置，BBB 的权值排列不会改变， AAA 与 BBB 这样前 iii 条边均为相等，可以递归下去证明。
情况二：aia_iai 不在 BBB 中。考虑将 aia_iai 加入 BBB，则形成了一个环，环中的权值 v≤w(ai)v\le w(a_i)v≤w(ai)（否则 BBB 不是最小生成树），且一定有一条边 bjb_jbj 不在 BBB 中，此时仍有 j>ij>ij>i（否则 iii 不是第一个不同的边），所以有 w(ai)≤w(bi)≤w(bj)≤w(ai)w(a_i)\le w(b_i) \le w(b_j) \le w(a_i)w(ai)≤w(bi)≤w(bj)≤w(ai)，所以仍有 w(ai)=w(bi)=w(bj)w(a_i) = w(b_i) = w(b_j)w(ai)=w(bi)=w(bj)，可以将 bjb_jbj 替换为 aia_iai，BBB 的权值排列不会改变且仍为最小生成树，仍然调换 bi,bjb_i, b_jbi,bj 的位置，BBB 的权值排列仍会改变，这样 AAA 与 BBB 前 iii 条边均为相等，可以递归下去证明。这样换边不会有问题，因为 Kruskal 算法中唯一的状态就是连通性，我们没有改变其连通性，所以是可以递归证明的。

定理二：如果 A,BA, BA,B 同为 GGG 的最小生成树，如果 A,BA, BA,B 都从零开始从小到大加边（AAA 加 AAA 的边，BBB 加 BBB 的边）的话，每种权值加完后图的联通性相同。
证明：归纳法证明，没有边时显然成立，假设对于权值小于 vvv 的成立。考虑权值为 vvv 的边，如果连通性不相同，必然存在 u,vu, vu,v 两点间连通性不同，假设 AAA 中 u,vu, vu,v 联通，根据 A,BA, BA,B 所有小于 vvv 的边连通性相同，所以必然存在一条 u→vu\rightarrow vu→v 权值为 vvv 的边，而根据 Kruskal 算法的执行过程， BBB 不可能不加这条边，所以两棵最小生成树 A,BA, BA,B 各自权值小于等于 vvv 的边仍然满足连通性相同。由归纳法可知定理二成立。

定理三：如果在最小生成树 AAA 中权值为 vvv 的边有 kkk 条，用任意 kkk 条权值为 vvv 的边替换 AAA 中的权为 vvv 的边且不产生环的方案都是一棵合法最小生成树。
证明：根据之前的定理，其余的边造成的连通性是定的，权值和也是定的，那么选 kkk 条不产生环一定能形成一棵树，而且权值与最小生成树的权值一样，故也是最小生成树。

有了这些定理，就可以基尔霍夫矩阵来算方案，每次乘起来，但算的时候要先“缩点”，其实就是排个序去重之类的，然后算完方案随便找一种连起来，但注意算方案的时候有可能不能构成生成树，还需要先把图再连一下使它能有生成树。

细节很多，写的时候一定要脑子清楚
代码如下：（改动比较多，有点丑）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 105
#define M 1005
#define LL long long
#define int LL
using namespace std;inline int rd(){int x=0,f=1;char c=' ';while(c<'0' || c>'9') f=c=='-'?-1:1,c=getchar();while(c<='9' && c>='0') x=x*10+c-'0',c=getchar();return x*f;
}int n,m,a[N][N],fa[N],fa2[N],ans=1,c[N<<1],sum;
const int mod=31011;struct EDGE{int fr,to,w;bool operator <(const EDGE &x) const{return w<x.w;}
}edge[M],tmp[M];inline int Matrix_tree(int tot){for(int i=1;i<tot;i++)for(int j=1;j<tot;j++)a[i][j]=(a[i][j]+mod)%mod;int ans=1,f=1;for(int i=1;i<tot;i++){for(int j=i+1;j<tot;j++){if(!a[j][i]) continue;int A=a[i][i],B=a[j][i];while(B){int t=A/B;A%=B; swap(A,B);for(int k=i;k<tot;k++) a[i][k]=(a[i][k]-1LL*t*a[j][k]+mod)%mod;for(int k=i;k<tot;k++) swap(a[i][k],a[j][k]); f=-f;}}if(!a[i][i]) return 0;ans=1LL*ans*a[i][i]%mod;}if(f==-1) ans=mod-ans%mod;return (ans+mod)%mod;
}inline int find(int x){if(x==fa[x]) return x;return fa[x]=find(fa[x]);
}
inline int find2(int x){if(x==fa2[x]) return x;return fa2[x]=find2(fa2[x]);
}inline int solve(int l,int r){int cnt=0,num=0;for(int i=l;i<=r;i++){int x=find(edge[i].fr),y=find(edge[i].to);tmp[i].fr=x,tmp[i].to=y;if(x!=y)c[++num]=x,c[++num]=y;}sort(c+1,c+num+1); num=unique(c+1,c+num+1)-c-1;for(int i=1;i<=num;i++) fa2[i]=i;for(int i=l;i<=r;i++){if(tmp[i].fr==tmp[i].to) continue;int u=find(tmp[i].fr),v=find(tmp[i].to);if(u!=v) sum--,fa[u]=v;u=lower_bound(c+1,c+num+1,tmp[i].fr)-c; v=lower_bound(c+1,c+num+1,tmp[i].to)-c;a[u][u]++,a[u][v]--,a[v][v]++,a[v][u]--;int x=find2(u),y=find2(v);if(x!=y) fa2[x]=y;} for(int i=2;i<=num;i++)if(find2(i)!=find2(i-1)){int u=find2(i),v=find2(i-1);a[u][u]++,a[u][v]--,a[v][v]++,a[v][u]--;fa2[u]=v;}ans=1LL*ans*Matrix_tree(num)%mod;
}signed main(){n=rd(); m=rd();for(int i=1;i<=m;i++) edge[i].fr=rd(),edge[i].to=rd(),edge[i].w=rd();sort(edge+1,edge+m+1); int u,v; sum=n;for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;for(int i=1;i<=m;){int j=i; while(edge[j].w==edge[i].w) j++; j--;if(i==j){u=find(edge[i].fr),v=find(edge[i].to);if(u!=v) fa[u]=v,sum--;}else{memset(a,0,sizeof a); solve(i,j);}i=j+1;}if(sum>1) puts("0");else printf("%lld\n",ans);return 0;
}

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