BZOJ1016 || 洛谷P4208 [JSOI2008]最小生成树计数【矩阵树定理】

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题目描述

现在给出了一个简单无向加权图。你不满足于求出这个图的最小生成树，而希望知道这个图中有多少个不同的最小生成树。（如果两颗最小生成树中至少有一条边不同，则这两个最小生成树就是不同的）。由于不同的最小生成树可能很多，所以你只需要输出方案数对31011的模就可以了。

输入格式：

第一行包含两个数，n和m，其中1<=n<=100; 1<=m<=1000; 表示该无向图的节点数和边数。每个节点用1~n的整数编号。

接下来的m行，每行包含两个整数：a, b, c，表示节点a, b之间的边的权值为c，其中1<=c<=1,000,000,000。

数据保证不会出现自回边和重边。注意：具有相同权值的边不会超过10条。

输出格式：

输出不同的最小生成树有多少个。你只需要输出数量对31011的模就可以了。

说明

说明 1<=n<=100; 1<=m<=1000;1≤ci≤1091\leq c_i\leq 10^91≤ci≤109

题目分析

首先最小生成树有这样的性质

若A,B为图G的不同最小生成树
设它们的边从小到大依次为wa1,wa2…wan−1w_{a_1},w_{a_2}\dots w_{a_{n-1}}wa1,wa2…wan−1和wb1,wb2…wbn−1w_{b_1},w_{b_2}\dots w_{b_{n-1}}wb1,wb2…wbn−1
这些边的条数分别为ka1,ka2…kan−1k_{a_1},k_{a_2}\dots k_{a_{n-1}}ka1,ka2…kan−1和kb1,kb2…kbn−1k_{b_1},k_{b_2}\dots k_{b_{n-1}}kb1,kb2…kbn−1
那么有wai=wbiw_{a_i}=w_{b_i}wai=wbi且kai=kbik_{a_i}=k_{b_i}kai=kbi

即所有最小生成树的边权出现情况都相同

假设当前已有一个最小生成树，若删去其中所有边权为wiw_iwi的边，图会变成若干个森林
根据上述性质，此时在原图中所有权值为wiw_iwi的边中取kik_iki条，若能组成生成树，则一定是最小的
将此时的合法选择方案数记为cic_ici，那么根据乘法原理答案∏ci\prod c_i∏ci

所以对于本题，先用Kruskal求出原图的一个最小生成树，记录所有树边和出现过的权值
遍历每个不同权值wiw_iwi，连接树边中所有权值不为wiw_iwi的边，将每个联通快缩点
用原图中所有权值为wiw_iwi的边构造基尔霍夫矩阵，应用矩阵树定理求出cic_ici
乘法原理累乘cic_ici即可

据说这题搜索也能过???

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long lt;int read()
{int f=1,x=0;char ss=getchar();while(ss<'0'||ss>'9'){if(ss=='-')f=-1;ss=getchar();}while(ss>='0'&&ss<='9'){x=x*10+ss-'0';ss=getchar();}return f*x;
}const int mod=31011;
const int maxn=210;
int n,m;
struct node{int u,v,dis;}E[maxn*10],T[maxn];
int fa[maxn],rem[maxn],tot;
int col[maxn],coln;
int a[maxn][maxn];bool cmp(node a,node b){ return a.dis<b.dis;}int find(int x)
{if(x==fa[x]) return x;else return fa[x]=find(fa[x]);
}int kruskal()
{sort(E+1,E+1+m,cmp); int cnt=0;for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;for(int i=1;i<=m;++i){int u=E[i].u,v=E[i].v;int fu=find(E[i].u),fv=find(E[i].v);if(fu!=fv){fa[fu]=fv; T[++cnt]=E[i];if(E[i].dis!=rem[tot]) rem[++tot]=E[i].dis;if(cnt==n-1) return 1;}}return 0;
}void addE(int val)
{for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;for(int i=1;i<n;++i)if(T[i].dis!=val){int fu=find(T[i].u),fv=find(T[i].v);if(fu!=fv) fa[fu]=fv;}
}void qblock()
{coln=0;for(int i=1;i<=n;++i)if(find(i)==i) col[i]=++coln;for(int i=1;i<=n;++i)col[i]=col[find(i)];
}void build(int val)
{memset(a,0,sizeof(a));for(int i=1;i<=m;++i)if(E[i].dis==val){int u=col[E[i].u],v=col[E[i].v];a[u][u]++; a[v][v]++; a[u][v]--; a[v][u]--;}
}int gauss(int lim)
{int res=1;for(int i=1;i<lim;++i){for(int j=i+1;j<lim;++j)while(a[j][i]){int t=a[i][i]/a[j][i];for(int k=i;k<lim;++k)a[i][k]=(a[i][k]-t*a[j][k]+mod)%mod;swap(a[j],a[i]);res=-res;}res=(res*a[i][i])%mod;}return (res+mod)%mod;
}int main()
{   n=read();m=read();for(int i=1;i<=m;++i)E[i].u=read(),E[i].v=read(),E[i].dis=read();if(!kruskal()){ printf("0"); return 0;}int ans=1;for(int i=1;i<=tot;++i){addE(rem[i]); qblock(); build(rem[i]);ans=ans*gauss(coln)%mod;}printf("%d",(ans+mod)%mod);return 0;
}