[题解][CF-1292C]Xenon‘s Attack on the Gangs

设 s z r o o t ( u ) sz_{root}(u) szroot(u)表示以 r o o t root root为根，子树 T ( u ) T(u) T(u)的大小, f a r o o t ( u ) fa_{root}(u) faroot(u)表示以 r o o t root root为根，节点 u u u的父亲。这两个东西可以 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)预处理。

转化一下问题：
a n s = ∑ x = 1 n − 1 ∑ u , v ∈ V [ m e x ( u , v ) ≥ x ] ans=\sum\limits_{x = 1}^{n - 1} \sum\limits_{u,v \in V} [\mathrm{mex}(u,v) \ge x] ans=x=1∑n−1u,v∈V∑[mex(u,v)≥x]
那么现在考虑从小到大加入每一个边权，首先加入边权 0 0 0：

那么一定可以得到 s z u ( v ) × s z v ( u ) sz_{u}(v) \times sz_{v}(u) szu(v)×szv(u)的贡献。那么接下来加入权值 1 1 1。

假如说 0 , 1 0,1 0,1不是连着的，那么两条边夹着的所有点对答案的就只能是 0 0 0，(如图)

接着想想，将 0 , 1 0,1 0,1连在一起有利无害，那么就连在一起吧。。。这启示我们，接下来放边权的时候，一定是尽量将之前已经放了边权形成的路径延长一个位置（这个想法比较古怪）。也就是说，对于 m e x \mathrm{mex} mex最长的一条路径，它所包含的边权可以组成 [ 0 , 路径长度 − 1 ] [0,路径长度-1] [0,路径长度−1]这一个区间的，而且区间的两个端点一定在叶子上。接下来设定一条最长的路径 ( u , v ) (u,v) (u,v)，我们想想怎么在上面填边权。首先在某个位置填上 0 0 0，然后任选左右其中位置填上 1 1 1，然后再选左右其中一个填上 2 2 2。每次填上一个边权之后，在答案中加入路径两边连着的子树的大小。这不就是 d p dp dp吗？设 f ( u , v ) f(u,v) f(u,v)表示形成了路径 ( u , v ) (u,v) (u,v)得到的最大 a n s ans ans。

那么可以得到：
f ( u , v ) = { max ⁡ { f ( f a v ( u ) , v ) , f ( u , f a u ( v ) } + s z u ( v ) × s z v ( u ) u ≠ v 0 u = v f(u,v)=\begin{cases} \max\left\{f(fa_{v}(u),v), f(u, fa_{u}(v)\right\} + sz_{u}(v)\times sz_{v}(u) & u \ne v\\ 0 & u = v \end{cases} f(u,v)={max{f(fav(u),v),f(u,fau(v)}+szu(v)×szv(u)0u=vu=v

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long longusing namespace std;const int maxn = 3e3 + 5;
struct Edge {int v, nex;Edge(int v = 0, int nex = 0) : v(v), nex(nex) {}
} E[maxn << 1];
int hd[maxn], tote;void addedge(int u, int v) {E[++tote] = Edge(v, hd[u]), hd[u] = tote;E[++tote] = Edge(u, hd[v]), hd[v] = tote;
} LL sz[maxn][maxn], fat[maxn][maxn], f[maxn][maxn];
int n, rt;void init(int u, int fa) {fat[rt][u] = fa, sz[rt][u] = 1;for (int i = hd[u]; i; i = E[i].nex) {int v = E[i].v;if (v == fa) continue;init(v, u), sz[rt][u] += sz[rt][v];}
}LL dp(int u, int v) {if (u == v) return 0;if (~f[u][v]) return f[u][v];return f[u][v] = max(dp(fat[v][u], v), dp(u, fat[u][v])) + sz[u][v] * sz[v][u];
}int main() {memset(f, -1, sizeof(f));scanf("%d", &n);for (int i = 1; i < n; i++) {int u, v; scanf("%d%d", &u, &v);addedge(u, v);}for (int i = 1; i <= n; i++) rt = i, init(i, 0);LL ans = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 1; j <= n; j++) ans = max(ans, dp(i, j));printf("%lld\n", ans);return 0;
}

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