Codeforces - 434D

题目大意:

给定一个长为n的序列，序列中的第i为上的值\(x_i\),序列第i位上的值\(x_i\in[l_i,r_i]\),价值为\(f_i(x_i)\),其中\(f_i(x) = a_ix^2 + b_ix + c_i\),同时给出m个限制条件,每个限制条件用一个三元组\(<u,v,d>\)来表示,需要序列满足\(x_u \leq x_v + d\)。求在满足所限制条件的情况下的\(f_i(x_i)\)的最大和。
其中满足(\(1 \leq n \leq 50, 0 \leq m \leq 100 , -100 \leq l_i \leq r_i \leq 100)\)

题目解答：

这道题跟[bzoj 3144 切糕]类似,由于网上关于切糕的题解已经烂大街了，在这里就不说了.
首先我们考虑在没有\(x_i\)的限制之下的答案计算：
直接取每段内的\(max\)不就好了嘛... ...

开一开脑洞，你就会构造出一个跟切糕差不多的层次模型

这不过这次是"最大割"而已

我们可以把所有有价值的边权全部都被所有值中的最大值减一下

这样我们直接求最小流再调整就行了。

而对于\(X_u <= X_v + d\)的限制

我们直接应用和切糕一样的思想来限制就可以了

一遍最大流即可

\(ans = (max(f_i(x)) + 1)*n - maxflow\)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline void read(int &x){x=0;char ch;bool flag = false;while(ch=getchar(),ch<'!');if(ch == '-') ch=getchar(),flag = true;while(x=10*x+ch-'0',ch=getchar(),ch>'!');if(flag) x=-x;
}
inline int cat_max(const int &a,const int &b){return a>b ? a:b;}
inline int cat_min(const int &a,const int &b){return a<b ? a:b;}
const int maxn = 51;
const int maxm = 128;
const int maxnode = 25400;
const int maxedge = 254000;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
struct Edge{int to,next,cap;
}G[maxedge];
int head[maxnode],cnt=1;
void add(int u,int v,int c){G[++cnt].to = v;G[cnt].next = head[u];G[cnt].cap = c;head[u] = cnt;
}
inline void insert(int u,int v,int c){add(u,v,c);add(v,u,0);
}
int dis[maxnode],q[maxnode],l,r;
int S,T;
#define v G[i].to
bool bfs(){memset(dis,-1,sizeof dis);dis[S] = 0;l = 0;r = -1;q[++r] = S;while(l <= r){int u = q[l++];for(int i = head[u];i;i=G[i].next){if(dis[v] == -1 && G[i].cap){dis[v] = dis[u] + 1;q[++r] = v;}}}return dis[T] != -1;
}int cur[maxnode];
int dfs(int u,int f){if(u == T || f == 0) return f;int ret = 0;for(int &i = cur[u];i;i=G[i].next){if(dis[v] == dis[u] + 1 && G[i].cap){int x = dfs(v,cat_min(G[i].cap,f));ret += x;f -= x;G[i].cap -= x;G[i^1].cap += x;if(f == 0) break;}}if(ret == 0) dis[u] = -1;return ret;
}
inline int dinic(){int ret = 0;while(bfs()){memcpy(cur,head,sizeof head);ret += dfs(S,inf);}return ret;
}
#undef v
int n;
inline int f(int x,int y){y += 102;return x*210+y;
}
int a[maxn],b[maxn],c[maxn],le[maxn],ri[maxn];
inline int calc(int i,int x){return a[i]*x*x+b[i]*x+c[i];
}
int main(){S = maxnode - 5;T = S+1;read(n);int m;read(m);int lim = -inf;for(int i=1;i<=n;++i){read(a[i]);read(b[i]);read(c[i]);}for(int i=1;i<=n;++i){read(le[i]);read(ri[i]);insert(S,f(i,le[i]-1),inf);for(int j=le[i];j<=ri[i];++j){lim = cat_max(lim,calc(i,j)+1); }insert(f(i,ri[i]),T,inf);}for(int i=1;i<=n;++i){for(int j=le[i];j<=ri[i];++j){insert(f(i,j-1),f(i,j),lim - calc(i,j));}}for(int i=1,u,v,d;i<=m;++i){read(u);read(v);read(d);for(int j=le[u];j<=ri[u];++j){if(j - d - 1 >= le[v] - 1 && j - d -1 <= ri[v])insert(f(u,j-1),f(v,j-d-1),inf);}}int ans = dinic();printf("%d\n",lim*n - ans);getchar();getchar();return 0;
}