初等代数（2）：不等式、数列与简单级数、阶乘、排列组合、二项式与多项式
§6 不等式
1.基本不等式
2.有关绝对值的不等式
3.有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式
4.算术平均值与几何平均值不等式
5.一些重要不等式
1.基本不等式
在下面1）～5）各式中，设 a >b, 则
1) a ± c > b ± c
2) ac > bc (c>0)； ac<bc (c<0)
3) 
, 
4) an>bn ( n>0, a>0, b>0) ; an<bn ( n<0, a>0, b>0)
5) 
(n为正整数,a>0,b>0)
6）设 
且 b, d 同号，则 
2. 有关绝对值的不等式
(1) 绝对值的定义
实数a的绝对值 
实数的绝对值是数轴上点到原点的距离．
复数Z=a+bi的模（绝对值）：
注：实数的绝对值实际上是复数模（绝对值）的特例．
(2) 有关绝对值的不等式
(a) 若a , b,…, k为任意复数（包含实数），则
(b） 若a ,b为任意复数（包含实数），则
(c） 若
则
-b≤a≤b 特别有 
（d） 若 
则 a>b 或 a<-b
（e） 
（f） 若a , b,…,k为任意复数（包含实数），则 
(g） 若a , b,…,k为任意复数（包含实数），则 
3. 有关三角函数、指数函数、对数函数的不等式
1) sinx<x<tgx (0<x<
)
2) cosx<
<1 (0<x<π )
3) 
(
)
4) 
(-∞<x<∞, x≠0 )
5) 
( x>0 )
6) 
( 0<x<
)
7) 
( 0<x<1, x≠
)
8) 
( x≠0 )
9) 
( x<1, x≠0 )
10) 
(n为自然数，x>0)
11) 
( x≠0 )
12) 
( x>-1, x≠0 )
13) 
( x>-1, x≠0 )
14) 
( x> -1, x≠0 )
特别取 
(n为自然数 ), 有
15）lnx≤ x-1 ( x>0 )
16)
( x<1, x≠0 )
17) 
( n>0, x>0 )
18) 
19) 
（以下各式中Z为复数）
20）
21）
22） 
23）
24）
4. 算术平均值与几何平均值不等式
1) 几个数的算术平均值的绝对值不超过这些数的均方根.
即 
等号仅当 a1 = a2 = … = an 时成立.
2) 设 a1, a2,…,an 均为正数，则它们的几何平均值不超过算术平均值.
即 
等号仅当 a1 = a2 = … = an 时成立.
3) 对几个正数 a1, a2,…, an 的加权平均值
有
等号仅当 a1 = a2 = … = an 时成立.
4) 设a1, a2,…, an 均为正数，
,则对n个正数的几何平均值有：
5. 一些重要不等式
1) 柯西（Cauchy）不等式
设 ai ，bi ( i=1,2,…,n)为任意实数，则
等号仅当 
时成立.
此不等式说明两矢量内积小于等于两矢量长度之积.
2) 赫尔德（
）不等式
(a） 设 ai ，bi ，li ( i=1，2，n) 为正数，又
为正数，且 
，则
等号仅当 
时成立.
(b） 设 ai , bi ( i=1,2,…,n) 为正数，又 k>0， k≠1，k’与 k 共轭，
即 
则
(k>1)
( k<1)
等号仅当 
时成立.
3) 闵可夫斯基不等式
设 ai >0, bi >0 ( i=1, 2,…,n), 又 r>0, r≠1 ,
则 
（r>1）
(r<1)
等号仅当 
时成立.
当 r=2 时，此不等式又称为三角形不等式，表明三角形两边之和大于第三边.
4) 契比雪夫不等式
设 ai >0, bi >0 ( i=1,2,…,n),
若 a1≤a2≤…≤an ，且 b1≤b2≤…≤bn
或 a1≥a2≥…≥an ，且 b1≥b2≥…≥bn
则 
若 a1≤a2≤…≤an， 而 b1≥b2≥…≥bn ,
则 
5) 詹生（Jensen）不等式
设 ai >0, ( i=1,2,…,n), 且 0< r ≤s, 则 
6) 伯努利（Bernoulli）不等式
设 a>1 ，自然数 n>1，则 
特别，令 
，则 
§7 数列与简单级数
1.数列与级数的概念
依照某种规则排列着的一列数a1 , a2 ,…, an ,…称为数列，记作 
． an称为数列的通项（或称为一般项），若把一数列用和号连接起来：
a1+a2+…+an+…
则称它为级数，记作 
．an称为该级数的通项或称为一般项．
2.等差数列与等差（算术）级数
|
名称 |
记号或计算公式 |
| 公差为d（常数）的等差数列 |
a1, a1+d, a1+2d, …, a1+(n-1)d , …
{a1+(n-1)d} |
| 等差（算术）级数 |
|
| 通项公式 | an=a1+(n-1)d |
| 前n项和（部分和） |
|
| 等差中项 |
|
3.等比数列与等比（几何）级数
|
名称 |
记号或计算公式 |
| 公比为q（常数）的等比级数 |
a1 , a1q , a1q2, …, a1qn-1, … {a1qn-1} |
| 等比（几何）级数 |
|
| 通项公式 | an=a1qn-1 |
| 前n项和（部分和） |
|
| 等比中项 |
|
| 无穷递减等比级数的和 |
|
4.算术-几何级数
5.调和级数
(1) 若 
为等差级数，则a+b+c+…称为调和级数．
(2) 设A、G、H分别为两个数的等差中项、等比中项和调和中项，则AH=G2
6.某些级数的部分和
§8 阶乘、排列、组合、二项与多项式
1.阶乘
|
定义 |
说明 |
| 0！=1 | 规定 |
|
n的阶乘 |
| (-1)!!=0 | 规定 |
|
奇数的阶乘 |
|
0!!=0 |
规定 |
|
偶数的阶乘 |
注：表中n为自然数
2.排列
(a) 从n个不同的元素中每次取出k个(k≤n)不同的元素，按一定的顺序排成一列，称为排列．其排列种数为：
(b) 特别当k=n时，此排列称为全排列．其排列种数为：
3.组合
(a) 从n个不同的元素中每次取出k个(k≤n)不同的元素，不管其顺序合并成一组，称为组合．其组合种数为：
(b) 组合公式
4.二项与多项式
(a) 二项式公式
(b) 二项式系数，杨辉三角形
我国南宋时期数学家杨辉在他所著的《详解九章算法》（1261年）中记载着有关二项式系数的研究．在二项式公式中分别取n=0, 1, 2 ,…, 6 时，其二项式系数可表示成三角形，称为杨辉三角形．
| (a+b)0 | 1 | ||||||||
| (a+b)1 | 1 | 1 | |||||||
| (a+b)2 | 1 | 2 | 1 | ||||||
| (a+b)3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||||
| (a+b)4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||||
| (a+b)5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |||
| (a+b)6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 |
(c) 多项式公式
注：和式中每一组（p , q ,…, s）对应一项，数组满足0≤p≤n, 0≤q≤n ,…, 0≤s≤n，且p+q+…+s=n．∑是对于所有这样的数求和．
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