初等代数（1）：数的分类、基本运算规律、乘法及其因式分解公式、公式、比例、根式

§1 数的分类和基本运算规律

1. 数的分类

2. 数的扩张

自然数

（减法）↓

整数

（除法）↓

有理数（即分数）

（极限）↓

实数

（代数方程）↓

复数

3. 基本运算率

(1)交换率 a+b=b+ a , ab=ba

(2)结合率 ( a+b)+c = a+(b+c) , ( ab)c = a(bc)

(3)分配率 ( a+b)c = ac+bc

§2 乘法及因式分解公式

(1) (x+a) (x+b) =x² + (a+b)x +ab

(2) (a±b)²=a²±2ab+b²

(3) (a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³

(4) (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca

(5) (a+b+c)³=a³+b³+c³+3a²b+3ab²+3b²c+3bc²+ 3a²c+ 3ac²+ 6abc

(6) a²-b²=(a -b)(a+b)

(7) a³±b³= (a±b) (a²ab +b²).

(8) aⁿ-bⁿ= (a-b)(aⁿ^-1 +aⁿ^-2b+aⁿ^-3b² +…+abⁿ^-2+bⁿ^-1) (n为正整数)

(9) aⁿ-bⁿ= (a+b)(aⁿ^-1-aⁿ^-2b+aⁿ^-3b²-…+ab^n-2-bⁿ^-1) (n为偶数)

(10) aⁿ+bⁿ=(a+b)(aⁿ^-1-aⁿ^-2b+aⁿ^-3b²-…-abⁿ^-2+bⁿ^-1) (n为奇数)

(11) a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

(12) a⁴+a²b² + b⁴= (a²+ ab+ b²) (a²-ab +b²)

§3 分式

1.基本性质

2.分式运算

1) 加减法 ,

2) 乘法

3) 除法

4) 乘方

5) 开方

3.分项分式

在以下各式中，P(x)为多项式，等号左边都是真分式。

1）

2) 式中 A₁, A₂, A₃为待定常数

3) 式中 A₁, A₂, A₃为待定常数

式中 x²+px+q为二次质因式；A₁, B₁, A₂, B₂, A₃,B₃为待定常数

式中 Q, R, S是一次式或二次质因式；A₁, A₂分别比Q, R 的次数低一次；

B₁, B₂, B₃都比S的次数低一次.

§4 比例

设 a : b = c : d 或 , 则

（1）ad = bc (外项积等于内项积)

（2）b : a = d : c （反比定理）

（3）a : c = b : d ； d : b = c : a (更比定理)

（4） (合比定理)

（5） （分比定理）

（6） (合分比定理)

（7）设 , 则（等比定理）

（8）若 y 与 x 成正比（或写为 y ∝x）, 则

或 y = kx

式中k为比例常数，下同

（9）若y与x成反比（或写为y ∝）, 则

y:=k 或 xy = k

§5 根式

1.算术根

正数a的正方根（n是大于1的正整数）叫做算术根，零的算术根规定为零。

基本性质

2.变形规则

1)

2)

3)

4)

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