【通信原理 入坑之路】 —— 详细理解傅里叶变换以及它在通信里面的应用
文章目录
- 一，实傅里叶级数和复傅里叶级数
- 1.1实傅里叶级数
- 1.2 复傅里叶级数
- 二，频谱与卷积
- 2.1 频谱
- 补充：时域卷积定理
- 三、用两个生动的例子阐释傅里叶变换的作用
- 四、傅里叶变换与调制解调的关系
- 4.1 用复傅里叶级数实现IQ解调的原理
- 4.1 如何求解复傅里叶系数?
- 4.2 傅里叶级数与正交频分复用OFDM的关系
一，实傅里叶级数和复傅里叶级数
1.1实傅里叶级数
我们还记得高数中实傅里叶级数的公式吗？f(t)=a02+∑k=1∞(akcoskω0t+bksinkω0t)f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{∞}(a_kcoskω_0t + b_ksinkω_0t)f(t)=2a0+k=1∑∞(akcoskω0t+bksinkω0t)
它表示了任何一个函数都可以化成无穷多个幅度、频率不同的正弦波的叠加
为了直观感受傅里叶变换的魅力，我们试着用正弦波近似表示方波：
首先，我们画一个简单的：y = 0.5 + 0.637.*cos(x);
x = 0:0.01:30;
y = 0.5 + 0.637.*cos(x);
plot(x, y)
再来看看 y=0.5+0.637.*cos(x)-0.212.cos(3x); 叠加了另外一个正弦波：
x = 0:0.01:30;
y=0.5+0.637.*cos(x)-0.212.*cos(3*x);
plot(x, y)
如果我们试着再叠加正弦波呢？y=0.5+0.637.*cos(x)-0.212.cos(3x)+0.127.cos(5x);
x = 0:0.01:30;
y=0.5+0.637.*cos(x)-0.212.*cos(3*x)+0.127.*cos(5*x);
plot(x, y)
我们能看到：如果叠加无穷多个正弦波，那么最终就会无限趋近于方波了
通过实傅里叶变换公式：f(t)=a02+∑k=1∞(akcoskω0t+bksinkω0t)f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{∞}(a_kcoskω_0t + b_ksinkω_0t)f(t)=2a0+k=1∑∞(akcoskω0t+bksinkω0t)
我们可以直接看出一些简单函数的傅里叶系数a，b
例如，y=sinty = sinty=sint中，a0=0,a1=0,b1=1a_0 = 0, a_1 = 0, b_1 = 1a0=0,a1=0,b1=1
y=costy = costy=cost中，a0=0,a1=1,b1=0a_0 = 0, a_1 = 1, b_1 = 0a0=0,a1=1,b1=0
【当然，a0,ak,bka_0, a_k, b_ka0,ak,bk有特定的公式可以计算，这里不打出来了】
1.2 复傅里叶级数
首先，由复变函数的知识我们知道：sinω0t=12j(ejω0t−e−jω0t)=−j2(ejω0t−e−jω0t)sinω_0t = \frac{1}{2j}(e^{jω_0t} - e^{-jω_0t}) = -\frac{j}{2}(e^{jω_0t} - e^{-jω_0t})sinω0t=2j1(ejω0t−e−jω0t)=−2j(ejω0t−e−jω0t)
cosω0t=12(ejω0t+e−jω0t)cosω_0t = \frac{1}{2}(e^{jω_0t} + e^{-jω_0t})cosω0t=21(ejω0t+e−jω0t)
我们把这两个式子带入上面的实傅里叶级数公式：
f(t)=a02+∑k=1∞(akcoskω0t+bksinkω0t)=a02+12∑k=1∞[(akejkω0t+ake−jkω0t)−j(bkejkω0t−bke−jkω0t)]=a02+12∑k=1∞(ak−jbk)ejkω0t+12∑k=1∞(ak+jbk)e−jkω0t=∑k=0ak2+12∑k=1∞(ak−jbk)ejkω0t+12∑k=−1−∞(a−k+jb−k)ejkω0t=∑k=−∞+∞ckejkω0t\begin{aligned} f(t) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{∞}(a_kcoskω_0t + b_ksinkω_0t)\\ &=\frac{a_0}{2} + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{∞}[(a_ke^{jkω_0t} + a_ke^{-jkω_0t})-j(b_ke^{jkω_0t}-b_ke^{-jkω_0t})]\\ &=\frac{a_0}{2} + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{∞}(a_k - jb_k)e^{jkω_0t} + \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{∞}(a_k + jb_k)e^{-jkω_0t}\\ &=\sum_{k=0}\frac{a_k}{2} +\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{∞}(a_k - jb_k)e^{jkω_0t} + \frac{1}{2}\sum_{k=-1}^{-∞}(a_{-k} + jb_{-k})e^{jkω_0t}\\ &=\sum_{k = -∞}^{+∞}c_ke^{jkω_0t} \end{aligned} f(t)=2a0+k=1∑∞(akcoskω0t+bksinkω0t)=2a0+21k=1∑∞[(akejkω0t+ake−jkω0t)−j(bkejkω0t−bke−jkω0t)]=2a0+21k=1∑∞(ak−jbk)ejkω0t+21k=1∑∞(ak+jbk)e−jkω0t=k=0∑2ak+21k=1∑∞(ak−jbk)ejkω0t+21k=−1∑−∞(a−k+jb−k)ejkω0t=k=−∞∑+∞ckejkω0t
对于复傅里叶系数ckc_kck，有：ck={a02k=012(ak−jbk)k=1,2,...12(a−k+jb−k)k=−1,−2,...c_k = \begin{cases} \frac{a_0}{2} \quad k = 0\\ \frac{1}{2}(a_k - jb_k) \quad k = 1,2,...\\ \frac{1}{2}(a_{-k} + jb_{-k}) \quad k = -1,-2,...\\ \end{cases} ck=⎩⎪⎨⎪⎧2a0k=021(ak−jbk)k=1,2,...21(a−k+jb−k)k=−1,−2,...
那么，只要我们就出了ak,bka_k, b_kak,bk，就可以把复傅里叶系数ckc_kck计算出来。
二，频谱与卷积
上面的一大堆公式推导都是为这一节做了铺垫。首先，什么是频谱呢？
我们生活中就有一个很恰当的例子：
我们平常听的音乐，如果在时域中，是一个振幅随时间变化的波形，像下图这样：
而音乐的另外一种表达，则是大家更为熟悉的——音符
这种用音符表示音乐的方法，我们可以认为是频域的表示。
例如，使用傅立叶变换，诸如人类语音的声波可以被分解成其不同频率的音调分量，每个音调分量由具有不同幅度和相位的正弦波表示
2.1 频谱
频谱是频率谱密度的简称，是频率的分布曲线。复杂振荡分解为振幅不同和频率不同的谐振荡，这些谐振荡的幅值按频率排列的图形叫做频谱。
也就是说，频谱横坐标是频率，纵坐标是该频率下对应的幅度
还记得我们在上一篇文章里面表示的信号f(t),g(t)f(t), g(t)f(t),g(t)吗？
【通信原理 入坑之路】——深入、详细地理解通信里面“卷积”概念
f(t)=ej2ω0t+5ejω0t+6f(t) = e^{j2ω_0t} + 5e^{jω_0t} + 6f(t)=ej2ω0t+5ejω0t+6；g(t)=3ejω0t+2g(t) = 3e^{jω_0t} + 2g(t)=3ejω0t+2
上面这个是f(t),g(t)f(t), g(t)f(t),g(t)两个信号的时域表示，下面我们画出它的频谱
先画f(t)f(t)f(t)的，我们看到f(t)f(t)f(t)信号可以分解为频率为0， ω_0，2ω_0三种频率的信号的叠加
频率为0的信号幅度为6；频率为ω0ω_0ω0的信号幅度为5；频率为2ω02ω_02ω0的信号为1
下面是g(t)g(t)g(t)的频谱
因此，[1 5 6]*[3 2] = [3 17 28 12]。我们平常所说的频域，实际上指的是频谱，也就是ejkω0te^{jkω_0t}ejkω0t前面的系数。那么，做信号时域上的乘法就可以等效成信号频域的卷积，再乘上对应的ejkω0te^{jkω_0t}ejkω0t
上图中最左边的黑色曲线是由右边各种彩色的，幅度不同、频率不同的正弦波组成的。那么，从图中黑色箭头方向看进去，就是组成黑色波形的各种频率成分的正弦波对应的幅度值，也就是频域图像
补充：时域卷积定理
上文我们提到了：“做信号时域上的乘法就可以等效成信号频域的卷积，再乘上对应的ejkω0te^{jkω_0t}ejkω0t
那么，信号在时域上的卷积会等于信号的频域相乘！
三、用两个生动的例子阐释傅里叶变换的作用
【例子一】：现在一家餐厅研究了一个特殊的美食，作为美食家的你，想知道这个菜里面到底都有什么配料。那么，如果我们输入这个美食（这个美食就是我们的“时域信号”），通过傅里叶变换，就可以得到这份美食的配方（这个配方就是我们的“频域信号”）
如果我们输入的是这个美食的配方，就可以通过傅里叶反变换得到这份美食
【例子二】：下面请读者和我一起做一件事情：我将给出sin(3x)+sin(5x)sin(3x) + sin(5x)sin(3x)+sin(5x)的曲线（你只知道这个曲线的样子，并不知道这个曲线的方程），那么应该如何去掉sin(5x)sin(5x)sin(5x)的成分呢？
想在时域中完成这个简直难于上青天，可以在频域中却很简单。
四、傅里叶变换与调制解调的关系
我们知道，IQ调制中，调制信号s(t)s(t)s(t)可以表示为：s(t)=acosω0t−bsinω0ts(t) = acosω_0t - bsinω_0ts(t)=acosω0t−bsinω0t
关于IQ调制的具体知识可以参考：【通信原理 入坑之路】—— 星座图原理分析与IQ调制
而我们又知道，傅里叶变换公式是：f(t)=a02+∑k=1∞(akcoskω0t+bksinkω0t)f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{∞}(a_kcoskω_0t + b_ksinkω_0t)f(t)=2a0+k=1∑∞(akcoskω0t+bksinkω0t)
当k = 1（只有基波分量的时候）且a0=0a_0 = 0a0=0，ak=a，bk=−ba_k = a，b_k = -bak=a，bk=−b时，f(t)=s(t)f(t) = s(t)f(t)=s(t)
因此，调制的过程就是用傅里叶系数和正余弦信号相乘，产生一个新的信号发送的过程。
解调就是求解傅里叶系数的过程
即信号的调制解调是傅里叶变换的一个简单的应用！
4.1 用复傅里叶级数实现IQ解调的原理
我们回顾一下IQ调制中使用复数进行解调的过程：
这里我们对经过信道的s(t)s(t)s(t)先乘上了一个顺时针旋转的单位向量e−jω0te^{-jω_0t}e−jω0t，再进行积分就可以解调出I, Q信号。可是，他和复傅里叶变换有啥关系呢？
在上文中，我们知道了复傅里叶系数ckc_kck的计算公式：
ck={a02k=012(ak−jbk)k=1,2,...12(a−k+jb−k)k=−1,−2,...c_k = \begin{cases} \frac{a_0}{2} \quad k = 0\\ \frac{1}{2}(a_k - jb_k) \quad k = 1,2,...\\ \frac{1}{2}(a_{-k} + jb_{-k}) \quad k = -1,-2,...\\ \end{cases} ck=⎩⎪⎨⎪⎧2a0k=021(ak−jbk)k=1,2,...21(a−k+jb−k)k=−1,−2,...
而对于傅里叶变换在解调中的应用，我们取基波（k = 1），且a0=0a_0 = 0a0=0
因此，对于上图IQ解调的过程，ck={12(a1−jb1)k=1c_k = \begin{cases} \frac{1}{2}(a_1 - jb_1) \quad k = 1\\ \end{cases} ck={21(a1−jb1)k=1
我们只需要求解出a1,b1a_1, b_1a1,b1即可。
由于：s(t)=acos(ω0t)−bsin(ω0t)=a2(ejω0t+e−jω0t)+jb2(ejω0t−e−jω0t)=(a2+jb2)ejω0t+(a2−jb2)e−jω0t\begin{aligned} s(t) &= acos(ω_0t) - bsin(ω_0t) \\ &= \frac{a}{2}(e^{jω_0t} + e^{-jω_0t}) +\frac{jb}{2}(e^{jω_0t} - e^{-jω_0t})\\ &=(\frac{a}{2} + \frac{jb}{2})e^{jω_0t} + (\frac{a}{2} - \frac{jb}{2})e^{-jω_0t} \end{aligned} s(t)=acos(ω0t)−bsin(ω0t)=2a(ejω0t+e−jω0t)+2jb(ejω0t−e−jω0t)=(2a+2jb)ejω0t+(2a−2jb)e−jω0t
由复傅里叶系变换：f(t)=∑k=−∞+∞ckejkω0tf(t) =\sum_{k = -∞}^{+∞}c_ke^{jkω_0t}f(t)=k=−∞∑+∞ckejkω0t
我们可以知道：c1=a2+jb2；c−1=a2−jb2c_1 = \frac{a}{2} + \frac{jb}{2}；c_{-1} = \frac{a}{2} - \frac{jb}{2}c1=2a+2jb；c−1=2a−2jb
那么，只要我们求出了c1c_1c1，我们就可以解调出a, b
4.1 如何求解复傅里叶系数?
回顾一下复傅里叶系数：f(t)=∑k=−∞+∞ckejkωtf(t) = \sum_{k = -∞}^{+∞}c_ke^{jkωt} f(t)=k=−∞∑+∞ckejkωt
我们知道，ejkωte^{jkωt}ejkωt可以表示为不同角速度的旋转向量，因此，我们可以把f(t)f(t)f(t)分解为若干个不同角速度，不同旋转方向的旋转向量（当k > 0时逆时针旋转，k < 0 时顺时针旋转）
那么，对于组成f(t)f(t)f(t)的某一个旋转向量ejmω0te^{jmω_0t}ejmω0t而言，乘上一个e−jmω0te^{-jmω_0t}e−jmω0t，那么它就变成了一个静止的向量，就可以得到地第m项的复傅里叶系数！但是，其他向量和这个e−jmω0te^{-jmω_0t}e−jmω0t相乘依然还是会旋转，不过这并不影响！我们通过数学方式来看看：
1T∫−T2+T2f(t)e−jmω0t=1T∫−T2+T2∑k=−∞+∞ckejkωte−jmω0t=1T∫−T2+T2cm+1T∫−T2+T2∑k=−∞;k≠m+∞ckejkωte−jmω0t=cm\begin{aligned} &\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}f(t)e^{-jmω_0t}\\ &=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}\sum_{k = -∞}^{+∞}c_ke^{jkωt}e^{-jmω_0t}\\ &=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}c_m + \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}\sum_{k = -∞;k≠m}^{+∞}c_ke^{jkωt}e^{-jmω_0t}\\ &=c_m \end{aligned} T1∫−2T+2Tf(t)e−jmω0t=T1∫−2T+2Tk=−∞∑+∞ckejkωte−jmω0t=T1∫−2T+2Tcm+T1∫−2T+2Tk=−∞;k=m∑+∞ckejkωte−jmω0t=cm
我们刚刚的推导得出了任意一项复傅里叶系数cmc_mcm的计算公式：cm=1T∫−T2+T2f(t)e−jmω0tc_m = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}f(t)e^{-jmω_0t}cm=T1∫−2T+2Tf(t)e−jmω0t
还记得上一节我们说：只要就出了c1c_1c1既可以得到a 和b嘛。因此：
c1=1T∫−T2+T2f(t)e−jω0tc_1 = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}f(t)e^{-jω_0t}c1=T1∫−2T+2Tf(t)e−jω0t
但是由于c1=a2+jb2c_1 = \frac{a}{2} + \frac{jb}{2}c1=2a+2jb，我们还要对c1c_1c1乘以一个2，才能真正得到a, b
即：a+jb=2T∫−T2+T2f(t)e−jω0ta+jb = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}f(t)e^{-jω_0t}a+jb=T2∫−2T+2Tf(t)e−jω0t
4.2 傅里叶级数与正交频分复用OFDM的关系
一图胜千言：
OFDM调制的过程，就是把输入的a1,b1,a2,b2、、a_1, b_1, a_2, b_2 、、a1,b1,a2,b2、、作为傅里叶系数和cos(ω0t),sin(ω0t),cos(2ω0t),sin(2ω0t),、、cos(ω_0t), sin(ω_0t), cos(2ω_0t), sin(2ω_0t),、、cos(ω0t),sin(ω0t),cos(2ω0t),sin(2ω0t),、、相乘的过程。
OFDM解调的过程就是把s(t)s(t)s(t)做傅里叶级数展开，求解傅里叶系数的过程！
这里再附上求解傅里叶级数的计算公式：ak=2T∫−T2+T2f(t)cos(kω0t)dt(k=0,1,2..)bk=2T∫−T2+T2f(t)sin(kω0t)dt(t=1,2,...)a_k = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}f(t)cos(kω_0t)dt \space (k=0,1,2..)\\ \quad\\ b_k = \frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{+\frac{T}{2}}f(t)sin(kω_0t)dt\space (t=1,2,...) ak=T2∫−2T+2Tf(t)cos(kω0t)dt (k=0,1,2..)bk=T2∫−2T+2Tf(t)sin(kω0t)dt (t=1,2,...)
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