【2019 BAPC - D】Deck Randomisation【中国剩余定理 + 循环节】

题意

洗牌游戏。初始顺序为 1～n1～n1～n，AliceAliceAlice 与 BobBobBob 轮流操作此牌堆。AliceAliceAlice 操作时会将位置 iii 上的牌移到 a[i]a[i]a[i] 上；BobBobBob 操作时会将位置 iii 上的牌移到 b[i]b[i]b[i] 上，问最少移动多少次桌上的牌会恢复原状，若 101210^{12}1012 次内无法还原，则输出 hugehugehuge。(1≤n≤105)(1\leq n\leq 10^5)(1≤n≤105)

思路

首先一个很明显的思路，对结束点的分类枚举，即该游戏可能结束于 AliceAliceAlice，也可能结束于 BobBobBob。

若结束于 BobBobBob，则可以将 AliceAliceAlice 和 BobBobBob 的两个操作合成一个操作，然后问最少多少步可以还原。此时答案比较好求，即先求出游戏中的多个循环节，各个循环节长度的最小公倍数即为答案。

若结束于 AliceAliceAlice，则修改每一个点的结束位置，因此对于每个循环节来说，最少操作次数应为 k∗T[i]+mod[i]k*T[i]+mod[i]k∗T[i]+mod[i]，其中 kkk 为任意非负整数，T[i]T[i]T[i] 为该循环节的长度，mod[i]mod[i]mod[i] 表示该循环节中的节点距离其目标节点的最短距离。

因此我们可以发现最终的答案需要求解一个同余方程组，因此使用中国剩余定理进行求解。

比赛时思路就已经到达了此步，但仍然无论如何都无法 ACACAC，主要有两个原因：

中国剩余定理板子不够优秀（大数据无法处理）
计算过程爆 longlonglong longlonglong 了，用 __int128\_\_int128__int128 也不行，最后改写成 pythonpythonpython 后通过

反思

一道题怼的太久，导致错失了 ACACAC 其他题的可能性。除此之外，数论方面的板子过于陈旧，今后遇到数论题需要主动承担不能逃避。最后，中国剩余定理存在爆 longlonglong longlonglong 的可能，需要及时反应过来并将其换成 pythonpythonpython 或 javajavajava。

代码

cppcppcpp 代码，最后两个测试点无法通过。

#include <bits/stdc++.h>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a);
#define rep(i,a,b) for(ll i = a; i <= b; i++)
#define per(i,a,b) for(ll i = a; i >= b; i--)
#define __ ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
#define ll __int128
typedef double db;
const db EPS = 1e-9;
const int N = 1e5+100;
const ll inf = 1e17;
using namespace std;void dbg() {cout << "\n";}
template<typename T, typename... A> void dbg(T a, A... x) {cout << a << ' '; dbg(x...);}
#define logs(x...) {cout << #x << " -> "; dbg(x);}// tot 个循环结，T[i] 每个循环节长度
// vis[i] 第 i 个点所在循环节位置
ll n,a[N],b[N],c[N],tot,vis[N];
ll T[N], mod[N], m[N];void init(){rep(i,1,n) c[i] = b[a[i]];rep(i,1,n){if(vis[i]) continue;ll tmp = c[i], len = 1;while(tmp != i){tmp = c[tmp];len++;}T[++tot] = len;vis[i] = tot; tmp = c[i];while(tmp != i){vis[tmp] = tot;tmp = c[tmp];}}
}ll gcd(ll a, ll b){return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}ll solve1(){ll ans = T[1];rep(i,2,tot){ans = ans * T[i] / gcd(ans, T[i]);if(ans > 1e12) return 1e13;}return ans * 2ll;
}ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {if (b == 0) {x = 1, y = 0; return a;}ll r = exgcd(b, a % b, x, y), tmp;tmp = x; x = y; y = tmp - (a / b) * y;return r;
}
ll inv(ll a, ll b) {ll x = 0, y = 0;ll r = exgcd(a, b, x, y);while (x < 0) x += b;return x;
}
ll excrt(ll n, ll M[], ll C[]){ // % m = cfor (ll i = 2; i <= n; i++) {ll M1 = M[i - 1], M2 = M[i], C2 = C[i], C1 = C[i - 1], T = gcd(M1, M2);if ((C2 - C1) % T != 0) return 1e13;M[i] = (M1 * M2) / T;C[i] = ( inv( M1 / T , M2 / T ) * (C2 - C1) / T ) % (M2 / T) * M1 + C1;C[i] = (C[i] % M[i] + M[i]) % M[i];if(C[i] > 1e12) return 1e13;}return C[n];
}ll tt[N];ll solve2(){rep(i,1,n) tt[i] = a[i];rep(i,1,n) a[tt[i]] = i;rep(i,1,n) m[i] = inf;rep(i,1,n){if(m[i] != inf) continue;if(vis[a[i]] != vis[i]) return 1e13;else{ll len = 0, tmp = i;while(tmp != a[i]){tmp = c[tmp];len++;}m[i] = len;ll p1 = c[i], p2 = c[a[i]];while(p1 != i){if(a[p1] != p2) return 1e13;else m[p1] = len;p1 = c[p1];p2 = c[p2];}}}rep(i,1,n) mod[i] = inf;rep(i,1,n)if(m[i] == T[vis[i]]) m[i] = 0;rep(i,1,n){if(mod[vis[i]] == inf) mod[vis[i]] = m[i];else if(mod[vis[i]] != m[i]) return 1e13;}return (excrt(tot,T,mod) * 2ll + 1ll);
}inline __int128 read() {__int128 x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9') {x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;
}inline void write(__int128 x) {if(x<0) { putchar('-'); x=-x; }if(x>9) write(x/10);putchar(x%10+'0');
}int main()
{n = read();rep(i,1,n) a[i] = read();rep(i,1,n) b[i] = read();ll ans = 1e13;init();ll tp = solve1();if(tp > 0) ans = min(ans,tp);tp = solve2();if(tp > 0) ans = min(ans,tp);if(ans > 1e12) printf("huge");else write(ans);return 0;
}

改写成 pythonpythonpython 代码后，可以通过全部测试点。

inf, N = int(1e17), int(100100)
# tot 个循环结，T[i] 每个循环节长度
# vis[i] 第 i 个点所在循环节位置
n, a, b, c, tot, vis = 0, [0], [0], [0]*N, 0, [0]*N
T, mod, m, tt, tmp, len = [0]*N, [0]*N, [0]*N, [0]*N, 0, 0def init():global n, a, b, c, tot, vis, T, mod, m, tt, inf, N, tmp, lenfor i in range(1, n+1):c[i] = b[a[i]]for i in range(1, n+1):if vis[i] != 0:continuetmp, len = c[i], 1while tmp != i:tmp = c[tmp]len += 1tot += 1T[tot] = lenvis[i] = tottmp = c[i]while tmp != i:vis[tmp] = tottmp = c[tmp]def gcd(a, b):if b == 0:return aelse:return gcd(b, a % b)def solve1():global n, a, b, c, tot, vis, T, mod, m, tt, inf, Nans = 0ans = T[1]for i in range(2, tot+1):ans = ans * T[i] / gcd(ans, T[i])if ans > 1e12:return int(1e13)return ans * int(2)def exgcd(a, b, x, y):re, tmp = 0, 0if b == 0:return a, 1, 0re, x, y = exgcd(b, a % b, x, y)tmp = xx = yy = tmp - (a//b)*yreturn re, x, ydef inv(a, b):x, y, r = 0, 0, 0r, x, y = exgcd(a, b, x, y)while x < 0:x += breturn xdef excrt(n, M, C):M1, M2, C1, C2, T = 0, 0, 0, 0, 0for i in range(2, n+1):M1, M2, C1, C2 = M[i-1], M[i], C[i-1], C[i]T = gcd(M1, M2)if (C2-C1) % T != 0:return 1e13M[i] = (M1 * M2) // TC[i] = (inv(M1//T, M2//T) * (C2-C1) // T) % (M2 // T) * M1 + C1C[i] = (mod[i] % M[i] + M[i]) % M[i]if C[i] > 1e12:return 1e13return C[n]def solve2():global n, a, b, c, tot, vis, T, mod, m, tt, inf, N, tmp, lenfor i in range(1, n+1):tt[i] = a[i]for i in range(1, n+1):a[tt[i]] = ifor i in range(1, n+1):m[i] = inffor i in range(1, n+1):if m[i] != inf:continueif vis[a[i]] != vis[i]:return int(1e13)else:tmp = 0len, tmp, p1, p2 = 0, i, 0, 0while tmp != a[i]:tmp = c[tmp]len += 1m[i] = lenp1, p2 = c[i], c[a[i]]while p1 != i:if a[p1] != p2:return int(1e13)else:m[p1] = lenp1 = c[p1]p2 = c[p2]for i in range(1, n+1):mod[i] = inffor i in range(1, n+1):if m[i] == T[vis[i]]:m[i] = 0for i in range(1, n+1):if mod[vis[i]] == inf:mod[vis[i]] = m[i]elif mod[vis[i]] != m[i]:return int(1e13)return excrt(tot, T, mod) * 2 + 1def main():global n, a, b, c, tot, vis, T, mod, m, tt, inf, Nn = int(input())a.extend(list(map(int, input().split())))b.extend(list(map(int, input().split())))ans = int(1e13)init()ans = min(ans, solve1())ans = min(ans, solve2())if ans > 1e12:print("huge")else:print(int(ans))if __name__ == "__main__":main()

后记

场上自闭 2h2h2h，场下自闭 5h5h5h，真实自闭题…

不过不得不说，好久没这么自闭调题了，ACACAC 的那一刻的确是直接跳起来了，久违的感觉！

最后，请务必继续奔跑，追逐属于自己的那束光！

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