博弈论——Nim游戏

一个思考
给定N堆物品，第i堆物品有Ai个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采取最优策略，问先手是否必胜。

相信acmer们都见过Alice和Bob这两个名字，两个大神经常会用聪明的智慧来博弈。他们总是会采取最优原则，游戏走的每一步，都不是为了走而走，而是为了掐死对手，这就是著名的博弈论。他属于公平组合游戏

博弈论的定理
基本上博弈论的最终推导都离不开这几个定理，十分的离散数学！定理有三：
1、没有后继状态的状态是必败状态。
2、一个状态是必胜状态当且仅当存在至少一个必败状态为它的后继状态。
3、一个状态是必败状态当且仅当它的所有后继状态均为必胜状态。

三定理在Nim游戏里的解释：
1、没有后继状态的状态，在Nim游戏里粗俗的认为是没有物品了，说明对手已经取完最后一个物品了，你输了！而必败状态，举个例子，只剩下两堆物品，每堆各一个物品，无论你取哪一个，对手都会拿走最后一个物品，总之，你被绝杀了！
2、为啥能说你必胜了？聪明的你在面对1 2这两堆物品的时候，能怎么选呢？如果是我，我会在物品数为2的那堆物品里面取一个物品走，留下1 1的局面给对面，无论他取哪个，我都会取走最后一个，他将会被我绝杀。
3、这个不需要做太多解释，无论你怎么选，都会给对手带来必胜局面，这是杀人诛心的必败局面了。

对思考的解决
最快捷的解决方法是，计算ans=a1⊕a2⊕…⊕an：
若ans=0，那么你处在的位置是必败状态（你先手），否则就是必胜状态（你先手）
若ans≠0，you win！

如何证明这个解决方法呢？就是从三个定理入手：

定理一证明：
没有后继状态的状态只能有一个，没有物品给你再取了，很明显ans=0；

定理二证明：
我们只需要证明对于ans≠0的情况，一定存在某种变化使得ans=0。
假设ans≠0，若进行一次操作，取走第i堆的物品，使得ai变为ai’，且使得ans=0，那么只可能是ai与ans进行了异或运算得到的ai’，因为：
ans=a1⊕a2⊕…⊕an，该式子左端与ans异或明显为0，右端ai与ans异或得到ai’。那么接下来只需要要证明，这种操作可以被你实现：
设x=ans的二进制数中位数最高的位置，很显然，这N堆物品的二进制在x的位置上为1的数量是奇数个，只有这样才能实现异或完的结果在x位上为1。那么一定存在一个ai⊕ans=ai’，使得该堆的物品数由ai变为了ai’，相当于被你取走了ai-ai’=ai-ai⊕ans。

假设三堆物品数分别为4 6 7，其二进制数分别为：
0100
0110
0111
异或完得到的数为5，其二进制为0101

ans的二进制最高位为1的是在第3位，与任何一位异或，明显都会让N堆物品的二进制第3位异或完变为0，并且最终3位的异或结果为0。

定理三证明：
ans=0了，你就无法再翻身了！（必败状态不能到达任何必败状态了）为什么？
利用反证法：
假如你想把ans继续保持0，那么你只能让某堆ai变为ai’，最后发现ai必然等于ai’，这显然是不合理的，因为题目要求必须取！

综上所诉，只要你处于这种必败状态，你不可能做任何操作让对方处于必败状态，你处于必胜状态，你可以作死让自己陷入绝境，但是聪明的你是不会这样做的。因此很显然，只需要ans=0，即可满足题意。

模板代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){int ans,a,n;scanf("%d",&n);while(n--){scanf("%d",&a);ans^=a;}if(!ans)printf("No\n");else printf("Yes\n");
}

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