游乐园（中国剩余定理）

游乐园
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题目描述
今天是个好日子，小A和他的小伙伴们一起去逛游乐园。这时，游乐园中忽然出现了一个伪装的吸血鬼，小A和他的小伙伴们都惊呆了！小伙伴们马上跑向了游乐园的四面八方。当“吸血鬼”回家吃饭的时候，小A才发现他已经和他的小伙伴们走散了。小A是个路痴，所以他只好站在原地等小伙伴们回来。
我们可以将游乐园视为一个N行M列的矩形，最上面一行为第1行，最左边一列为第1列。每个小伙伴手里都有一张神奇的地图，地图中对应着游乐园的每行每列都有一个写着0-9中某个数字的路标。小A的K位小伙伴们每一秒都会依次进行以下行动：
1.读取他所在的位置上的路标X；
2.顺时针旋转90度X次；
3.如果他面对游乐园外，那就他会再转180度；
4.移动到他面对的位置。
小A的视力很糟糕。只有当所有的小伙伴都同时出现在他所在的位置时，他才能和他的小伙伴们团聚。小A等得很心急，所以他求助于你。请你告诉他，他和小伙伴们团聚所需要的时间。
输入
输入的第一行包括正整数N、M和K。
输入的第二行包括正整数X和Y，代表小A的位置。
输入的其他行将分别描述K个小伙伴：
·两个正整数Xi，Yi，代表第i个小伙伴开始时所在的位置。字符Ci，代表该小伙伴开始时面对的方向（U为上，R为右，D为下，L为左）；
·由0-9（含）组成的N×M的地图，其中第x行第y列的数字表示该小伙伴地图上(x, y)的位置上的路标。
输出
唯一的一行输出小A和小伙伴们团聚所需要的时间。如果小A和他的小伙伴们永远不会团聚，请输出-1。
样例输入
3 3 1
2 2
1 1 R
010
000
000

3 4 2
2 2
3 4 R
2327
6009
2112
3 2 R
1310
2101
1301

4 4 3
4 3
1 1 U
1001
0240
3322
2327
1 3 L
9521
2390
3020
2421
2 2 D
3397
2013
1102
7302
样例输出
3

296
提示
【数据范围】
对于30%的数据，如果小A和他的小伙伴们能够团聚，团聚的总秒数小于10^6；
对于70%的数据，3<=N, M<=40；
对于100%的数据，3<=N, M<=50，1<=K<=5如果小A和他的小伙伴们能够团聚，团聚的总秒数小于10^18。
题解：
在扯这道题之前，先扯一波中国剩余定理。
科普时间：
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
正题：
问题描述：用数学的语言来说，就是给定nnn个方程x" role="presentation" style="position: relative;">xxx%ai=biai=bia_i=b_i，求xxx的最小正整数解。
构造：当ai" role="presentation" style="position: relative;">aiaia_i两两互质时，我们可以构造出x。
令M=∏ni=1aiM=∏i=1naiM=\prod_{i=1}^na_i，如果xxx是一个解，则x+M" role="presentation" style="position: relative;">x+Mx+Mx+M也是一个合法的解，反之亦然。
令Mi=∏nj=1,j≠iajMi=∏j=1,j≠inajM_i=\prod_{j=1,j\ne i}^na_j，M−1iMi−1M_i^{-1}表示MiMiM_i关于aiaia_i的逆元。
则x=∑ni=1biMiM−1ix=∑i=1nbiMiMi−1x=\sum_{i=1}^nb_iM_iM_i^{-1}%MMM。
接下来证明x" role="presentation" style="position: relative;">xxx的确是方程组的一个解。
对于第iii个方程，当j=i" role="presentation" style="position: relative;">j=ij=ij=i时，bjMjM−1jbjMjMj−1b_jM_jM_j^{-1}%ai=biai=bia_i=b_i。
当j≠ij≠ij\ne i时，MjMjM_j%ai=0ai=0a_i=0，因此bjMjM−1jbjMjMj−1b_jM_jM_j^{-1}%ai=0ai=0a_i=0。
所以xxx%ai=bi" role="presentation" style="position: relative;">ai=biai=bia_i=b_i成立。
那么不互质的情况呢？
不妨假设我们要解方程xxx%a1=b1" role="presentation" style="position: relative;">a1=b1a1=b1a_1=b_1和xxx%a2=b2" role="presentation" style="position: relative;">a2=b2a2=b2a_2=b_2。
则x=k1a1+b1=k2a2+b2x=k1a1+b1=k2a2+b2x = k_1a_1 + b_1 = k_2a_2 + b_2。
化简得k1a1−k2a2=b2−b1k1a1−k2a2=b2−b1k_1a_1-k_2a_2=b_2-b_1，利用exgcdexgcdexgcd求出xxx的一个解r" role="presentation" style="position: relative;">rrr。
那么xxx%lcm(a1,a2)=r" role="presentation" style="position: relative;">lcm(a1,a2)=rlcm(a1,a2)=rlcm(a_1,a_2)=r。
对于更多的方程，一一合并即可。
好，开始扯游乐园这道题了。
首先裂点，将每一个点拆分成444个，分别表示不同的朝向。
可以发现每个人走的路径存在循环节，且为一个ρ" role="presentation" style="position: relative;">ρρρ形循环。
枚举每一个人到达终点时的朝向，设环的大小为lenilenilen_i，第一次到达该点的时刻为titit_i。
若该点不在环上，则答案必须为titit_i，否则答案为k∗leni+tik∗leni+tik*len_i+t_i。
用中国剩余定理求解即可。
Code:Code:Code:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define N 60
#define ll long long
#define INF 100000000000000000
using namespace std;
ll n,m,k,x1,y1,a[N][N],b[6][4],c[6][4],d[6],f[N][N][4],ans=INF;
void work(ll &x,ll &y,ll &z)
{ (z+=a[x][y])%=4; if(x==1&&z==0)z=2; if(y==1&&z==3)z=1; if(x==n&&z==2)z=0; if(y==m&&z==1)z=3; if(z==0)x--; if(z==1)y++; if(z==2)x++; if(z==3)y--;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{ if(b==0) { x=1,y=0;return; } exgcd(b,a%b,x,y); ll t=x;x=y;y=t-a/b*y;
}
ll getans(ll len1,ll st1,ll len2,ll st2)
{ ll a=len1,b=-len2,c=st2-st1,x=0,y=0; if(len1==0&&len2==0) if(st2==st1)return st2;else return INF; if(len1==0) if(b>c&&c%b==0) return max(st1,st2);else return INF; if(len2==0) if(c>a&&c%a==0) return max(st1,st2);else return INF; if(len1==len2) if(abs(st2-st1)%len1==0) return max(st1,st2);else return INF; ll g=__gcd(a,b); if(c%g!=0)return INF; exgcd(a,b,x,y); c/=g;x*=c; b=abs(b);b/=g; if(x<0)x=(b+x%b); x%=b; return st1+len1*x;
}
void find(ll x)
{ if(x>k) { ll st[6],len[6]; for(int i=1;i<=k;i++) st[i]=b[i][d[i]],len[i]=c[i][d[i]]; if(k==1) { ans=min(ans,st[1]); return; } for(int i=1;i<=k-1;i++) { st[i+1]=getans(len[i],st[i],len[i+1],st[i+1]); if(__gcd(len[i],len[i+1])==0)len[i+1]=0; else len[i+1]=len[i]*len[i+1]/__gcd(len[i],len[i+1]); } ans=min(ans,st[k]); } for(int i=0;i<=3;i++)  if(b[x][i]!=0)d[x]=i,find(x+1);
}
int main()
{ scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);  scanf("%lld%lld",&x1,&y1); for(int l=1;l<=k;l++) { char ch;ll x,y,z,ring,_ring; scanf("%lld %lld %c",&x,&y,&ch); if(ch=='U')z=0; if(ch=='R')z=1; if(ch=='D')z=2; if(ch=='L')z=3; for(int i=1;i<=n;i++) { char ch[105]; scanf("%s",ch); for(int j=1;j<=m;j++) a[i][j]=ch[j-1]-48; }  memset(f,0,sizeof(f)); for(int i=0;i<=3;i++)b[l][i]=0; for(int i=1;;i++) if(!f[x][y][z]) { f[x][y][z]=i; if(x==x1&&y==y1)b[l][z]=i; work(x,y,z); }else{ ring=i-f[x][y][z]; _ring=f[x][y][z]; break; } for(int i=0;i<=3;i++) if(b[l][i]>=_ring)c[l][i]=ring; else c[l][i]=0; } find(1); if(ans==INF)ans=-1; printf("%lld",ans);
}

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