第九讲函数间接展开成幂级数

一，间接展开法（利用已知的展开式，展开其他函数）

已知的展开式：

$e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}$ ， $-\infty < x< \infty$
$sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ ， $-\infty < x< \infty$
$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}$ ， $-1 < x< 1$
$\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}$ ， $-1 < x< 1$

二，例题1，将 $f(x)=a^{x}$ 展开成x的幂级数

$a^{x}=e^{xlna}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(xlna)^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(lna)^{n}}{n!}x^{n}$ ， $-\infty < x< \infty$

三，例题2，将 $f(x)=cos(x)$ 展开成x的幂级数

$cos(x)={sin}'(x)=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{{(x^{(2n+1)})'}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}$ ， $-\infty < x< \infty$

四，例题3，将 $f(x)=ln(1+x)$ 展开成x的幂级数

思路：先求导，再积分
$ln(1+x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+x}dx=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}dx=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int_{0}^{x}x^{n}dx=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{(n+1)}}{n+1}=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{(n-1)}\frac{x^{n}}{n}$ ， $-1 < x\leq 1$
如果 $f(0)\neq 0$ ，那么求 $f(x)$ 就得 $\int_{0}^{x}{f}'(x)dx$ 后面加个 $f(0)$ ，如图：

五，例题4，将 $f(x)=arctan(x)$ 展开成x的幂级数

$arctan(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+x^{2}}dx=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{2n}dx=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int_{0}^{x}x^{2n}dx=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$ ， $-1\leq x\leq 1$

六，例题5，将 $f(x)=\frac{1}{3-x}$ 展开成x-1的幂级数

$\frac{1}{3-x}=\frac{1}{2-(x-1)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{x-1}{2}}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty }(\frac{x-1}{2})^{n}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(x-1)^{n}}{2^{n+1}}$ ， $-1 < \frac{x-1}{2}< 1$

七，二项展开式

八，利用函数的展开式求高阶导数

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