幂级数和函数经典例题_幂级数的和函数怎么求，做题有什么方法吗？
求幂级数的收敛域及其和，考研数学常考。本文尝试总结出一些套路，以期对此方面有疑惑的同学给予帮助。这里为了叙述简便，在叙述过程中忽略收敛域的问题，毕竟本文目的是为“求和”提供套路。但我们在解题时，一定要注意收敛域的问题，因为可能存在陷阱。
一，基本型
所谓基本，就是最常见的级数和的公式
.
越基础越重要，值得单独拎出来说. 这种类型的典型特点是
只出现在指数上，要熟练到看到就能写出. 举几个例子.
;
这里需要提醒注意的是在实际解题过程中，要注意
符号的下标，否则易犯低级错误. 比如：
简单的方法就是看幂级数的第一项，是
还是别的. 一般而言，基本型和式的分子就是这第一项.
二，利用展开式直接求和
常见的五大级数展开式：
看到形状比较像的，尝试去套。有时还会出现实值的情形，比如
，看到直接写出就行.
这种类型特点是分母易见到阶乘，不过考得比较少，关键在于分母中阶乘的存在，使得出题难度比较大。难了考试做不出，因为需要特别的技巧，计算量也较大；简单吧一眼就能看出来。这里从易到难举几个例子。
当然，在上述做法之前，先要声明当
时，级数的和为
. 由幂级数在其收敛域上的一致连续性，不难想见，必有
这题如果变成
，难度会高出一个数量级，一般考试考不到. 这里我们要介绍下述技巧来处理：
显然这个幂级数的收敛半径是
.
例，
(兰州大学2019考研数学分析第一题)
作幂级数
，它的收敛域是
. 求出和函数，再令
就行.
令
，就得到所求结果为
.
三，逐项求导和逐项积分法
原理是幂级数在收敛域上是一致收敛的。这种题型考试中最为常见。主要特征就是含
的式子是有理式. 若
出现分母中，考虑求导；出现在分子则考虑求积. 在解题过程中因为要逐项求导后再积分或反过来，步骤不理顺很容易乱，需要注意.
例1，求幂级数
的和函数(2016数学三).
令
，则
，
，故
，
进而
.
例2，求幂级数
的和函数(2014数学三).
令
，则
，
这里令
,便有
，
求导可得
，于是
，
再求导就有
.
应付考试的话呢，掌握基本型，熟悉几个公式，会逐项积分逐项求导的方法就行了。不过还是要再强调一下，解题过程中始终要考虑收敛域.
下面属于歪楼内容。因为题主问的是幂级数. 傅里叶级数不知道考研数学一会不会考到.
四，利用傅里叶级数求级数和
求和
.(北师大2020考研数学分析第7题)
不妨从更简单的
着手，看看怎么个弄法.
这个级数就是
. 如果能找到一个函数，它展开成傅里叶级数比较像
这样的形式就好办了。翻开积分表，看到这么个东西
岂不是说
. 但是
的傅里叶展开还有
，要想只有
，我们需要一个偶函数，比如
. 由于
所以，
就是我们要找的比较理想的函数. 它在
上是连续函数，满足狄利克雷条件，因此它的傅里叶级数收敛于函数
：
.
令
，则
所以，
类似地，令
，则
于是就得到我们最初提出来的问题的结果：
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