曲线弧长

L = ∫ a b 1 + ( y ′ ) 2 d x L=\int_a^b\sqrt {1+(y')^2}dx L=∫ab​1+(y′)2 ​dx
参数方程求法： L = ∫ a b x ′ ( t ) 2 + y ′ ( t ) 2 d t L=\int_a^b\sqrt {x'(t)^2+y'(t)^2}dt L=∫ab​x′(t)2+y′(t)2 ​dt(这里ab是t的取值范围)

曲线围成面积

曲线 y 1 ( x ) 与 y 2 ( x ) y_1(x)与y_2(x) y1​(x)与y2​(x)与在区间[a,b]围成的面积

S = ∫ b a ∣ y 1 ( x ) − y 2 ( x ) ∣ d x S=\int_b^a|y_1(x)-y_2(x)|dx S=∫ba​∣y1​(x)−y2​(x)∣dx

∣ y 1 ( x ) − y 2 ( x ) ∣ |y_1(x)-y_2(x)| ∣y1​(x)−y2​(x)∣是[a,b]的微元。

极坐标曲线 r = r 1 ( θ ) , r = r 2 ( θ ) 在 [ θ 1 ， θ 2 ] r=r_1(θ),r=r_2(θ)在[θ_1，θ_2] r=r1​(θ),r=r2​(θ)在[θ1​，θ2​]围成的面积。

S = 1 2 ∫ θ 1 θ 2 ∣ r = r 1 ( θ ) 2 − r 2 ( θ ) 2 ∣ d x S=\frac12\int_{θ_1}^{θ_2}|r=r_1(θ)^2-r_2(θ)^2|dx S=21​∫θ1​θ2​​∣r=r1​(θ)2−r2​(θ)2∣dx

微元部分的意思是把扇近似成直角三角形，面积是1/2*底乘高。

参数方程的面积求法

重点在于如何积分？
积分时要注意一开始根据自己的需要写好 ∫ b a \int^a_b ∫ba​的值是x(t)函数的值，而dx也要带入x(t)方程，然后把求导移出，变成dt。再依据x(t)的关系把 ∫ \int ∫内的值改成t的取值范围。

面积质心

质心(x0,y0),沿着x0或者y0可以把图形分割成面积相等的两部分，列出一个方程即可。

曲线旋转体表面积

L = 2 π ∫ a b y 1 + ( y ′ ) 2 d x L=2π\int_a^by\sqrt {1+(y')^2}dx L=2π∫ab​y1+(y′)2 ​dx
参数方程求法： L = 2 π ∫ a b y ( t ) x ′ ( t ) 2 + y ′ ( t ) 2 d t L=2π\int_a^by(t)\sqrt {x'(t)^2+y'(t)^2}dt L=2π∫ab​y(t)x′(t)2+y′(t)2 ​dt(这里ab是t的取值范围，记得求导数，而且里面的函数是一体的，我之前在这里出现了两个计算错误)

曲线旋转体体积

对称图形的旋转这里有一个细节，千万注意别多计算了对称部分的体积。很容易有时候算成两倍或者四倍体积之类的。

曲线y=y(x)在[a,b]区间绕x轴形成的体积

V = ∫ b a π y ( x ) 2 d x V=\int^a_bπy(x)^2dx V=∫ba​πy(x)2dx
微元是该几何体的一个截面圆的面积，y(x)是该截面圆的半径(如果是平性与x的轴就重新计算半径即可)。

曲线 y = y 1 ( x ) , y = y 2 ( x ) y=y_1(x),y=y_2(x) y=y1​(x),y=y2​(x)在[a,b]区间绕x轴形成的体积

V = ∫ b a π ∣ y 1 ( x ) 2 − y 2 ( x ) 2 ∣ d x V=\int^a_bπ|y_1(x)^2-y_2(x)^2|dx V=∫ba​π∣y1​(x)2−y2​(x)2∣dx(结合上一条和面积第一条可以推导出)

曲线y=y(x)在[a,b]区间绕y轴形成的体积

V = 2 π ∫ b a x ∣ y ( x ) ∣ d x V=2π\int^a_bx|y(x)|dx V=2π∫ba​x∣y(x)∣dx
微元部分为长方行的面积，x为底边长，|y(x)|为高。乘上2π成为一个甜甜圈的外环。

曲线的平均高

y ( ξ ) = ∫ b a y ( x ) d x b − a y(ξ)=\frac{\int_b^ay(x)dx}{b-a} y(ξ)=b−a∫ba​y(x)dx​(积分中值定理,ξ可以在[a,b]区间找到至少一点满足该条件)

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