本文主要是关于图灵可确定，不可确定问题和半确定问题等
本文中可判定或不可判定也翻译为可决定（确定），不可决定（确定），这里我统一用可判定与不可判定

预备知识

可数与不可数集合

可数集合

可数集合：一个集合MMM称为可数的，当MMM是空的，或者当有一个满射的函数c:N→Mc:\mathbb{N}\rightarrow Mc:N→M存在

每一个可数集合的元素都可以被枚举出来
每一个有限集合都是可数的
对于一个可数的无限集合都存在一个双射函数c:N→Mc:\mathbb{N}\rightarrow Mc:N→M
所有可数的无限集合和自然数集合N\mathbb{N}N等势

可数集合举例：

有限字母集合Σ\SigmaΣ所有构成的词的集合Σ∗\Sigma^*Σ∗，例如：{0,1}∗\{0,1\}^*{0,1}∗在卡农顺序下可以枚举为：

ϵ,0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,...\epsilon,0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,... ϵ,0,1,00,01,10,11,000,001,010,011,100,101,...

哥德尔数Gödelnummer的集合。因为Gödelnummer的词是关于字母集{0,1}的
所有图灵机的集合。因为每个图灵机都可以通过一个Gödelnummer表示

符号

对于二维字母集合Σ={0,1}\Sigma=\{0,1\}Σ={0,1}我们将在卡农顺序下的第i个词表示为wiw_iwi

对于第i个卡农顺序下的图灵机Gödelnummer我们记为MiM_iMi

不可数聚合

定理：自然数集的幂集P(N)\mathcal{P}(\mathbb{N})P(N)是不可数的

证明：反证法

假设P(N)\mathcal{P}(\mathbb{N})P(N)是可数的
那么令S0,S1,S2,S3,...S_0,S_1,S_2,S_3,...S0,S1,S2,S3,...为一个P(N)\mathcal{P}(\mathbb{N})P(N)的枚举
我们定义一个二维无限的邻接矩阵(Ai,j)i,j∈N(A_{i,j})_{i,j\in \mathbb{N}}(Ai,j)i,j∈N

Ai,j={1如果j∈Si0其他A_{i,j}= \begin{cases} 1& \quad 如果j\in S_i\\ 0& \quad 其他 \end{cases} Ai,j={10如果j∈Si其他

上述两行分别定义对角线集合SdiagS_{diag}Sdiag和其补集Sˉdiag\bar S_{diag}Sˉdiag

注：对角线集合SdiagS_{diag}Sdiag和其补集Sˉdiag\bar S_{diag}Sˉdiag都是自然数集合的子集，因此在P(N)\mathcal{P}(\mathbb{N})P(N)存在一个元素Sk,k∈NS_k,k\in\mathbb{N}Sk,k∈N使得Sˉdiag=Sk\bar S_{diag} = S_kSˉdiag=Sk

现在有两种情况，都可以导致矛盾：

第一种情况：Ak,k=1⇒Def.Sˉdiagk∉Sˉdiag⇒k∉Sk⇒Def.AAk,k=0第一种情况： A_{k,k} = 1\overset{Def. \bar S_{diag}}\Rightarrow k\notin \bar S_{diag} \Rightarrow k\notin S_k \overset{Def. A}\Rightarrow A_{k,k}=0第一种情况：Ak,k=1⇒Def.Sˉdiagk∈/Sˉdiag⇒k∈/Sk⇒Def.AAk,k=0
第二种情况：Ak,k=0⇒Def.Sˉdiagk∈Sˉdiag⇒k∈Sk⇒Def.AAk,k=1第二种情况： A_{k,k} = 0\overset{Def. \bar S_{diag}}\Rightarrow k\in \bar S_{diag} \Rightarrow k\in S_k \overset{Def. A}\Rightarrow A_{k,k}=1第二种情况：Ak,k=0⇒Def.Sˉdiagk∈Sˉdiag⇒k∈Sk⇒Def.AAk,k=1

所以不存在P(N)\mathcal{P}(\mathbb{N})P(N)的枚举，因此不可数

不可判定问题

对角线语言

定义：D={w∈{0,1}∗∣w=wi且Mi不接受w}D=\{w\in\{0,1\}^*|w=w_i且M_i不接受w\}D={w∈{0,1}∗∣w=wi且Mi不接受w}

换句话说：第i个词wiw_iwi（卡农顺序下对于{0,1}∗\{0,1\}^*{0,1}∗）在对角线语言D中，当且仅当第i个图灵机MiM_iMi（在卡农顺序下的Gödelnummer）不接受这个词wiw_iwi。

注：这里图灵机MiM_iMi不接受www有两种情况：1.图灵机MiM_iMi拒绝了www；2.图灵机MiM_iMi对于输入www不停

定理：对角线语言DDD是不可判定的

证明：反证法

假设对角线语言D是可判定的，则存在一个MjM_jMj，可以判定D

对角线语言补集的不可判定性

相似的，对角线补集的定义为Dˉ={w∈{0,1}∗∣w=wi且Mi接受w}\bar D=\{w\in\{0,1\}^*|w=w_i且M_i接受w\}Dˉ={w∈{0,1}∗∣w=wi且Mi接受w}

定理：对角线语言补集Dˉ\bar DDˉ是不可判定的

证明：反证法

假设Dˉ\bar DDˉ是可判定的，那么存在一个图灵机MDˉM_{\bar D}MDˉ，判定Dˉ\bar DDˉ。可以用图灵机MDˉM_{\bar D}MDˉ构造出可以判定对角线语言DDD的图灵机MDM_DMD，造成矛盾。

如下构造：

子程序技术

上面的这个证明过程就用到了子程序技术

其具体方法为：

已经有一个被证明是不可判定的语言L’，要求证一个新的语言L不可判定，只要构造运用一个子程序图灵机MLM_LML（其可判定语言L）的图灵机也可以判定语言L’

观察：

当一个语言L⊆{0,1}∗L\subseteq\{0,1\}^*L⊆{0,1}∗不可判定时，那么他的补集也不可判定

同样的当一个语言L⊆{0,1}∗L\subseteq\{0,1\}^*L⊆{0,1}∗可判定时，那么他的补集也可判定

停机问题

定义：H={<M>w∣M在输入为w的时候能停}H = \{<M>w|M在输入为w的时候能停\}H={<M>w∣M在输入为w的时候能停}

注：停机问题是所有图灵机Gödelnummer<M><M><M>加上能使他停的词www的集合

定理：停机问题H是不可判定的

证明：子程序

1号子程序根据输入w在卡农顺序下的下标i（也就是找到wi=ww_i = wwi=w），然后根据下标i得到MiM_iMi的Gödelnummer
将<Mi>wi<M_i>w_i<Mi>wi作为输入进入2号子程序MHM_HMH，如果MiM_iMi在w_i处不停机则拒绝，如果停机则接受进入3号子程序。（因为MHM_HMH接受<Mi>wi<M_i>w_i<Mi>wi只是说明MiM_iMi在输入wiw_iwi处停了，接受或拒绝未知，而对于对角线语言补集是只要求能被MiM_iMi接受的语言）
3号子程序通用图灵机模拟MiM_iMi对于输入wiw_iwi的运行过程。（因为MHM_HMH接受<Mi>wi<M_i>w_i<Mi>wi，所以MiM_iMi对于输入wiw_iwi会停，当MiM_iMi接受wiw_iwi时，通用图灵机UUU也会接受，反过来也一样）

正确性证明：

需要证明：

w∈Dˉ⇒MDˉ接受ww \in \bar D \Rightarrow M_{\bar D} 接受ww∈Dˉ⇒MDˉ接受w
w∉Dˉ⇒MDˉ拒绝ww \notin \bar D \Rightarrow M_{\bar D} 拒绝ww∈/Dˉ⇒MDˉ拒绝w

ϵ\epsilonϵ-停机问题

定义：Hϵ={<M>w∣M在输入为ϵ的时候能停}H_\epsilon = \{<M>w|M在输入为\epsilon的时候能停\}Hϵ={<M>w∣M在输入为ϵ的时候能停}

定理：ϵ\epsilonϵ-停机问题HϵH_\epsilonHϵ是不可判定的

证明：子程序技术

首先判断输入是否是以正确的Gödelnummer开始的，如果不是，则直接拒绝
如果输入格式正确，则用该输入构造一个新的图灵机Gödelnummer<Mw∗><M^*_w><Mw∗>，该图灵机有以下特征:

1）如果Mw∗M^*_wMw∗含有输入ϵ\epsilonϵ，那么在运行时，它先将词w写在带子上，之后模拟图灵机M在输入为w的行为（这里是使得w在M上停等价于下面MϵM_\epsilonMϵ接受Mw∗M^*_wMw∗，反之w在M上不停就不接受）

2）如果输入不是ϵ\epsilonϵ，那么就无所谓Mw∗M^*_wMw∗的行为（因为证明里不需要）。我们可以设定，Mw∗M^*_wMw∗会进入无限循环，也就是不停
最后将Gödelnummer<Mw∗><M^*_w><Mw∗>作为输入进入图灵机MϵM_\epsilonMϵ,然后整个MHM_HMH输出接受，当且仅当MϵM_\epsilonMϵ接受

正确性证明：

首先如果输入不符合<M>w<M>w<M>w这个形式的，MHM_HMH直接拒绝，下面，当输入符合<M>w<M>w<M>w形式，则需要证明：

<M>w∈H⇒MH接受<M>w<M>w\in H \quad \Rightarrow \quad M_H 接受<M>w<M>w∈H⇒MH接受<M>w

<M>w∉H⇒MH拒绝<M>w<M>w\notin H \quad \Rightarrow \quad M_H 拒绝<M>w<M>w∈/H⇒MH拒绝<M>w

莱斯定理

由图灵机计算的偏分方程具有以下形式：

fM:{0,1}∗→{0,1}∗∪{⊥}f_M:\{0,1\}^*\rightarrow \{0,1\}^*\cup\{\bot\}fM:{0,1}∗→{0,1}∗∪{⊥}

对于判定问题有以下形式：

fM:{0,1}∗→{0,1,⊥}f_M:\{0,1\}^*\rightarrow \{0,1,\bot\}fM:{0,1}∗→{0,1,⊥}

其中0表示拒绝，1表示接受，⊥\bot⊥表示不停

定理内容：

令R\mathcal{R}R是由图灵机计算的所有偏分方程的集合。

令S\mathcal{S}S是R\mathcal{R}R的一个子集，且有∅⊂S⊂R,S≠∅,S≠R\varnothing\subset \mathcal{S}\subset \mathcal{R},\mathcal{S}\ne\varnothing,\mathcal{S}\ne\mathcal{R}∅⊂S⊂R,S=∅,S=R

则语言L(S)={<M>∣M计算一个来自于S的函数}L(\mathcal{S}) =\{<M>|\ M 计算一个来自于\mathcal{S}的函数\}L(S)={<M>∣ M计算一个来自于S的函数}是不可判定的

注：莱斯定理只针对于计算函数的图灵机哥德尔编码，不涉及到图灵机的运行时间，运行内容

证明：ML(S)M_{L(\mathcal{S})}ML(S)作为MϵM_\epsilonMϵ的子程序

令u为一般的未定义的函数u(w)≡⊥u(w)\equiv \botu(w)≡⊥

u∉Su\notin \mathcal{S}u∈/S

令f是S\mathcal{S}S里的一个函数

令N是一个计算f的图灵机

如果输入不是由正确的Gödelnummer组成，MϵM_\epsilonMϵ则拒绝这个输入
否则，MϵM_\epsilonMϵ则从输入<M><M><M>中计算图灵机M∗M^*M∗的Gödelnummer：

输入x在M∗M^*M∗上的行为如下：

1）首先M∗M^*M∗在一个事先设计好的路径(Spur)上模拟图灵机M在输入为ϵ\epsilonϵ时的行为（如果M不停机，那么M∗M^*M∗就也不停机，那也就是计算的是u（w）≡⊥u（w）\equiv \botu（w）≡⊥，那么在之后ML(S)M_{L(\mathcal{S})}ML(S)肯定会输出拒绝）

2）之后M∗M^*M∗模拟图灵机N在输入为x的行为。一旦N停下来，那么M∗M^*M∗也就停下来，并且将N的输出作为M∗M^*M∗的输出。（这里指当输入ϵ\epsilonϵ在M上停机了，那么运行N，输入为x，输出自然就是f（x））
最后将<M∗><M^*><M∗>作为输入进入图灵机ML(S)M_{L(\mathcal{S})}ML(S)中。我们接受当且仅当ML(S)M_{L(\mathcal{S})}ML(S)接受。

正确性证明：

封闭性

当语言L是可判定的，那么它的补集Σ∗−L\Sigma^*-LΣ∗−L也是可判定的

当两个语言L1L_1L1和L2L_2L2是可判定的，则

L1∩L2L_1\cap L_2L1∩L2可判定
L1∪L2L1\cup L_2L1∪L2可判定

可判定的语言集合在交并补下面是封闭的

递归可枚举性与归约

一个语言L被一个图灵机M所判定，当

对于任何一个输入M都会停
M只接受来自于L里的词

一个语言L会被一个图灵机所识别，当

M接受所有来自于L里的词
M不接受任何一个不是L里的词

当存在一个图灵机，其可以识别L，那么则称这个语言L是半可判定的（semi-entscheidbar）

递归可枚举性

一个枚举器对于一个语言L⊆Σ∗L\subseteq\Sigma^*L⊆Σ∗是一个图灵机的变种，其连接着一个打印机

这个打印机是一个额外的输出带，读取头只能在这个带上向右移动且只能进行写操作。

枚举器会由空的工作带开始，并且随着时间会输出来自于L里的所有单词到打印机上
输出的词会被一个不来自于Σ\SigmaΣ分隔符分开
枚举器只打印来自于L里的单词

定义：当一个语言L有一个枚举器时，则称L是递归可枚举的

定理：一个语言L是递归可枚举的，当且仅当L是半可判定的

证明：

递归可枚举→\rightarrow→半可判定

假设L是递归可枚举的且A为其枚举器。如下方式构造一个图灵机M，使其识别语言L：

在一条带上模拟这个枚举器A，并把结果输出到带子上（就是接管了打印机的功能）
每当有一个单词在带子上打印出来之后，图灵机M就比较这个单词和w，并且当相等时u，输出接受。

正确性：

当w∈Lw\in Lw∈L，则在某一时刻，www必然会被打印出来，那么这时候M会输出接受
当w∉Lw\notin Lw∈/L，则w永远都不会被打印出来，M就会不停也就不会输出接受

半可判定→\rightarrow→递归可枚举

假设L是半可判定的且被图灵机M所识别。如下方式构造一个枚举器A给语言L：

注：因为目的是要将能被图灵机M接受的词输出打印出来，但是对于某些词，M可能无限不停机。因此我们模拟是只运行固定步骤，然后采用多轮次进行模拟，每轮多模拟一个词，这样就解决了无限多个词语无限多步的冲突

在第k轮里（k=1,2,3,…）

枚举器A用图灵机M模拟w1,w2,...,wkw_1,w_2,...,w_kw1,w2,...,wk中每个词，并且每个词只运行k步
在模拟过程中每当M接受了某个词，那么枚举器A就会把这个词打印出来

正确性：

很明显，构造出来的这个枚举器只接受来自于L的词。那么需要证明该枚举器是否能打印出所有来自L里的单词。

令wiw_iwi是语言L中的一个单词。那么wiw_iwi会被图灵机M在有限步骤tit_iti时接受
所以，k轮过后（k≥max{i,ti}k\ge \mathbb{max}\{i,t_i\}k≥max{i,ti}），wiw_iwi在每一轮都会被打印出来

封闭性

当两个语言L1L_1L1和L2L_2L2是递归可枚举的，则

L1∩L2L_1\cap L_2L1∩L2递归可枚举
L1∪L2L1\cup L_2L1∪L2递归可枚举

引理：

当一个语言L⊆Σ∗L\subseteq\Sigma^*L⊆Σ∗和其补集Lˉ:=Σ∗−L\bar L:=\Sigma^*-LLˉ:=Σ∗−L都是递归可枚举时，则LLL是可判定的

用子程序技术即可证明这个引理

Hˉ\bar HHˉ和Hˉϵ\bar H_\epsilonHˉϵ不是递归可枚举的

证：因为停机问题H是递归可枚举的，当Hˉ\bar HHˉ也是递归可枚举的，则根据上述引理可推出停机问题是可判定的。然而事实是停机问题不可判定，所以Hˉ\bar HHˉ不是递归可枚举的。

同理Hˉϵ\bar H_\epsilonHˉϵ不是递归可枚举的。

可计算性语言分类

观察：每一个语言L都属于以下四个类别里中的一个

L可判定的（L和Lˉ\bar LLˉ都是递归可枚举的）
LLL是递归可枚举的，而Lˉ\bar LLˉ不是
Lˉ\bar LLˉ是递归可枚举的，而LLL不是
LLL和Lˉ\bar LLˉ都不是递归可枚举的

归约

定义：令L1L_1L1和L2L_2L2是两个关于字母集Σ\SigmaΣ的语言。我们称L1L_1L1在L2L_2L2上可归约的（L1≤L2L_1\le L_2L1≤L2），当存在一个可计算的函数f:Σ∗→Σ∗f: \Sigma^*\rightarrow \Sigma^*f:Σ∗→Σ∗，使得对于所有的x∈Σ∗x\in \Sigma^*x∈Σ∗满足：x∈L1⇔f(x)∈L2x\in L_1 \Leftrightarrow f(x)\in L_2x∈L1⇔f(x)∈L2.

即x∈L1⇒f(x)∈L2;x∉L1⇒f(x)∉L2x \in L_1 \Rightarrow f(x)\in L_2;x\notin L_1 \Rightarrow f(x)\notin L_2x∈L1⇒f(x)∈L2;x∈/L1⇒f(x)∈/L2

定理：如果两个语言L1≤L2L_1\le L_2L1≤L2

L2L_2L2可判定的⇒\quad \Rightarrow \quad⇒$ L_1$可判定的
L2L_2L2递归可枚举的⇒\quad \Rightarrow \quad⇒ L1L_1L1递归可枚举的
L1L_1L1不可确定的⇒\quad \Rightarrow \quad⇒$ L_2$不可判定的
L1L_1L1不是递归可枚举的⇒\quad \Rightarrow \quad⇒L2L_2L2不是递归可枚举的

使用子程序技术即可证明：

完全停机问题

定义：Htot={<M>∣M在每一个输入都会停}H_{tot} = \{<M>|M在每一个输入都会停\}Htot={<M>∣M在每一个输入都会停}

就是HtotH_{tot}Htot里的图灵机不存在对于某个输入会不停

定理：Hˉtot\bar H_{tot}Hˉtot和HtotH_{tot}Htot都不是递归可枚举的

证明：

已知Hˉϵ\bar H_\epsilonHˉϵ不是递归可枚举的，那么需要证：

Hˉϵ≤Hˉtot\bar H_\epsilon \le \bar H_{tot}Hˉϵ≤Hˉtot
Hˉϵ≤Htot\bar H_\epsilon \le H_{tot}Hˉϵ≤Htot

Hˉϵ≤Hˉtot\bar H_\epsilon \le \bar H_{tot}Hˉϵ≤Hˉtot

构造一个可计算的函数fff，使得对于x∈Σ∗x\in \Sigma^*x∈Σ∗有x∈Hˉϵ→f(x)∈Hˉtot;x∉Hˉϵ→f(x)∉Hˉtot\quad x\in \bar H_\epsilon \rightarrow f(x)\in \bar H_{tot};\quad x\notin \bar H_\epsilon \rightarrow f(x)\notin \bar H_{tot}x∈Hˉϵ→f(x)∈Hˉtot;x∈/Hˉϵ→f(x)∈/Hˉtot，构造方式如下：

令www是Hˉϵ\bar H_\epsilonHˉϵ的一个输入

当www不是哥德尔数时，直接令f(w)=wf(w) = wf(w)=w
当w=<M>w=<M>w=<M>对于一个图灵机M，则令f(w):=<Mϵ∗>f(w):=<M_\epsilon^*>f(w):=<Mϵ∗>是图灵机Mϵ∗M_\epsilon^*Mϵ∗的哥德尔数，并且该图灵机有以下行为：

Mϵ∗M_\epsilon^*Mϵ∗忽略它的输入直接模拟M在输入为ϵ\epsilonϵ时的行为

正确性证明：

w∈Hˉϵ⇒f(w)∈Hˉtotw\in \bar H_\epsilon \Rightarrow f(w)\in \bar H_{tot}w∈Hˉϵ⇒f(w)∈Hˉtot
w∉Hˉϵ⇒f(w)∉Hˉtotw\notin \bar H_\epsilon \Rightarrow f(w)\notin \bar H_{tot}w∈/Hˉϵ⇒f(w)∈/Hˉtot

首先当w不是哥德尔数时，满足w∈Hˉϵw\in \bar H_\epsilonw∈Hˉϵ和f(w)∈Hˉtotf(w)\in \bar H_{tot}f(w)∈Hˉtot

当w=<M>w=<M>w=<M>是一个图灵机的哥德尔数时，

Hˉϵ≤Htot\bar H_\epsilon \le H_{tot}Hˉϵ≤Htot

构造一个可计算的函数fff，使得对于x∈Σ∗x\in \Sigma^*x∈Σ∗有x∈Hˉϵ→f(x)∈Htot;x∉Hˉϵ→f(x)∉Htot\quad x\in \bar H_\epsilon \rightarrow f(x)\in H_{tot};\quad x\notin \bar H_\epsilon \rightarrow f(x)\notin H_{tot}x∈Hˉϵ→f(x)∈Htot;x∈/Hˉϵ→f(x)∈/Htot，构造方式如下：

令www是Hˉϵ\bar H_\epsilonHˉϵ的一个输入。令w′w'w′是来自于HtotH_{tot}Htot的任意一个输入。

当w不是一个有效的哥德尔数时，令f(w)=w′f(w) = w'f(w)=w′
当w=<M>w=<M>w=<M>是一个有效的哥德尔数时，则令f(w):=<M′>f(w):=<M'>f(w):=<M′>，图灵机M′M'M′在长度为lll的输入x时如下运行：

首先M′M'M′模拟在lll步骤内模拟输入ϵ\epsilonϵ在M上面的行为。当M在这lll步内停下来，那么M′M'M′就进入无线循环；否则M没有在这lll步内停下来则M′M'M′停止

正确性证明：

w∈Hˉϵ⇒f(w)∈Htotw\in \bar H_\epsilon \Rightarrow f(w)\in H_{tot}w∈Hˉϵ⇒f(w)∈Htot
w∉Hˉϵ⇒f(w)∉Htotw\notin \bar H_\epsilon \Rightarrow f(w)\notin H_{tot}w∈/Hˉϵ⇒f(w)∈/Htot

首先当w不是哥德尔数时，满足w∈Hˉϵw\in \bar H_\epsilonw∈Hˉϵ和f(w)=w′∈Htotf(w) = w'\in H_{tot}f(w)=w′∈Htot

当w=<M>w=<M>w=<M>是一个图灵机的哥德尔数时，

解题思路

可判定证明：

设计出图灵机使其对于所有该语言中的词都接受，不属于该语言的都不接受
使用可计算性问题交并补的封闭性
证明该语言和其补集都是递归可枚举的

不可判定证明：

对角化构成矛盾，当问题出现对于第i个语言，然后Mi不接受，就可以用
如果问题描述的是图灵机计算一个偏函数，则可以使用Satz von Rice定理
规约，将某个已判定不可判定问题规约到该问题上
子程序技术

递归可枚举证明：

构造一个图灵机，使得所有属于语言L的词能被这个图灵机接受，其他的不能被接受

不可递归可枚举证明：

先证明不可判定，然后证明补集递归可枚举即可
规约，将某个不可递归可枚举的问题规约到该问题上

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定理：对角线语言DDD是不可判定的

证明：反证法

对角线语言补集的不可判定性

定理：对角线语言补集Dˉ\bar DDˉ是不可判定的

证明：反证法

子程序技术

停机问题

定理：停机问题H是不可判定的

证明：子程序

ϵ\epsilonϵ-停机问题

定理：ϵ\epsilonϵ-停机问题HϵH_\epsilonHϵ​是不可判定的

证明：子程序技术

莱斯定理

定理内容：

证明：ML(S)M_{L(\mathcal{S})}ML(S)​作为MϵM_\epsilonMϵ​的子程序

封闭性

递归可枚举性与归约

递归可枚举性

定理：一个语言L是递归可枚举的，当且仅当L是半可判定的

证明：

递归可枚举→\rightarrow→半可判定

半可判定→\rightarrow→递归可枚举

封闭性

引理：

Hˉ\bar HHˉ和Hˉϵ\bar H_\epsilonHˉϵ​不是递归可枚举的

可计算性语言分类

归约

完全停机问题

Hˉϵ≤Hˉtot\bar H_\epsilon \le \bar H_{tot}Hˉϵ​≤Hˉtot​

Hˉϵ≤Htot\bar H_\epsilon \le H_{tot}Hˉϵ​≤Htot​

解题思路

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