严格对角占优矩阵特征值_MIT—线性代数笔记21 特征值和特征向量

第21讲特征值和特征向量

Eigenvalues and eigenvectors

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本单元后面的课程主要围绕特征值和特征向量。在这个议题下讨论得都是方阵。

特征向量和特征值 Eigenvectors and eigenvalues

将矩阵A与向量x相乘当做是对向量的一种操作或者函数，输入x而输出Ax。特征向量即在特定的向量x方向上输出的Ax平行于x，即为：

。

其中x为矩阵A的特征向量，而

为

A的特征值。

如果0是矩阵的特征值，则有Ax=0x=0。特征值0所对应的向量生成了矩阵的零空间。如果矩阵A为不可逆矩阵，则0是其特征值之一。

例1：矩阵P是朝向一个平面的投影矩阵。对于这个平面之内的x，均有Px=x，因此x是特征向量而1为特征值。垂直于该平面的向量x经投影得到Px=0，这个x也是矩阵的特征向量而0为特征值。矩阵P的所有特征向量张成了整个空间。

例2：矩阵A=

，具有特征向量

，对应的特征向量为1；另一个特征向量为

，对应的特征向量为-1。这些特征向量张成了整个空间。因为是对称矩阵，其特征向量互相垂直。

任意nxn矩阵A具有n个特征值，并且它们的和等于矩阵对角线上的元素之和，这个数值为矩阵的迹（trace）。对于二阶矩阵，在已知一个特征值的条件下，可以据此得到另一个特征值。

方程

中特征值和特征向量均未知，没法直接求解。因此我们做如下数学处理：

，因此有

，则

为奇异阵，因此

。在这个没有

x的方程中，可以解得n个特征值，但是有可能方程有重根，则会得到重复的特征值。

得到特征值之后，可以用消元法解

，这一矩阵零空间中的向量为矩阵

A的特征向量。

例如：矩阵A=

，则

。可以看到其中的参数6是矩阵

A的迹，而8是行列式的值。通常一个2阶矩阵的特征值是如下方程的解：

。

对于上述矩阵A，可以求得特征值

和

。

，

；

，

；

与前例中矩阵A=

的特征值和特征向量相对比，可知两者为一组平移矩阵。在对角元素上分别加3，改变了特征值但是没有改变特征向量。

，则有

。

需要注意的是，两个矩阵的和的特征值不是两特征值直接相加之和，因为特征向量并不相同。

矩阵的迹等于特征值之和：如上所述，将

展开会得到

的n阶多项式，多项式的解就是矩阵

A 的特征值，根据多项式根与系数的关系，解之和即特征值之和等于

的系数。而行列式展开式中只有对角线的积这一项包含

（其它项最高是n-2 次方），而其系数为矩阵

A 对角线元素之和，即矩阵A 的迹，因此特征值之和与矩阵的迹相等。对称矩阵的特征向量正交：

和

是对称矩阵的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为

x1 和x2。则有

，左乘

x2得

。而又有

。因此有

，而两特征值不等，所以可得两特征向量正交。

复数特征值 Complex eigenvalues

矩阵

是一个90度旋转矩阵。从矩阵的迹和行列式的值可以得到

，

。从矩阵的性质可知它的实数特征向量只有零向量，因为其他任何向量乘以旋转矩阵，向量的方向都会发生改变。计算可得：

可以解得

和

。如果一个矩阵具有复数特征值a+bi则，它的共轭复数a-bi也是矩阵的特征值。

实数特征值让特征向量伸缩而虚数让其旋转。

对称矩阵永远具有实数的特征值，而反对称矩阵（antisymmetric matrices），即满足

的矩阵，具有纯虚数的特征值。

三角阵和重特征值 Triangular matrices and repeated eigenvalues

对于如A=

的三角矩阵，特征值就是矩阵对角线上的元素。

。

可以解得

。

。得到

x1=

，而没有

x2。说明A是一个退化矩阵，对应相同的特征值而特征向量短缺。