盖尔金圆定理(Gersghorin Circle Thorem)

盖尔金圆定理(Gersghorin Circle Thorem)是线性代数中一个有趣而实用的定理，可以用它来描述矩阵的特征值。首先我们先来看一下盖尔金圆定理。

(盖尔金圆定理)对于任意的$n$阶方阵$A$，若$\lambda$是$A$的一个特征值，则存在$1\leq i\leq n$,使得$|\lambda - a_{ii}| \leq \sum\limits_{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ij}|.$

证明：

若$\lambda$是$A$的一个特征值，设其特征向量为$x$，可以选取$i$使得$|x_i|=\max\limits_{j=1,2,...,n} |x_{j}|=1,$这总是可以做到的，因为特征向量乘上任何数(除0外)仍为特征向量。

根据特征值和特征向量的定义，有$Ax=\lambda x$,因此有：

$$\sum\limits_{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=\lambda x_{i}.$$

从而：

$$|(\lambda-a_{ii})x_{i}|=|\lambda-a_{ii}|\leq \sum\limits_{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ij}x_{j}|\leq \sum\limits_{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ij}|.$$

证明完毕

对于任意一个方阵，我们只要画出它在复平面上的盖尔金圆，就能推测出特征值的分布情况了，因为该方阵的所有特征值总是在这些圆中某一个内。

下面给出如何在复平面上画方阵的盖尔金圆的Python代码，如下：

# Plotting Gershgorin Circles for any square matrix

from matplotlib.patches import Circle

import matplotlib.pyplot as plt

from math import sqrt

import numpy as np

# example matrix, each entity can be complex number

A = np.array([[5, 0, 0, -1],

[1, 0, -1, 0],

[-1.5, 1, -2, 1],

[-1, 1, 1, -3j]

],dtype='complex')

# begin plotting figure

fig = plt.figure()

ax = fig.add_subplot(111)

# Circle: |A[i,i]-z| <= sum(|A[i,j]| for j in range(n) and j != i)

for i in range(A.shape[0]):

real = A[i,i].real # each complex's real part

imag = A[i,i].imag # each complex's image part

# calculate the radius of each circle

radius = -sqrt(A[i,i].real**2+A[i,i].imag**2)

for j in range(A.shape[0]):

radius += sqrt(A[i,j].real**2+A[i,j].imag**2)

# add the circle to the figure and plot the center of the circle

cir = Circle(xy = (real,imag), radius=radius, alpha=0.5, fill=False)

ax.add_patch(cir)

x, y = real, imag

ax.plot(x, y, 'ro')

# title

plt.title("Gershgorin Circles of Matrix")

# show the figure which can be used for analyse eigenvalues of the matrix

plt.savefig("E://GCircle.png")

该方阵的盖尔金圆分布如下图：

以下给出盖尔金圆定理在 严格对角占优矩阵中的应用。

严格对角占优矩阵(SDD)

严格对角占优矩阵(Strictly Diagonally Dominant Matrix, SDD)是数值分析中的一个重要概念，它能保证Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性。

所谓SDD，指的是满足以下条件的方阵：

$$|a_{ii}| > \sum\limits_{j=1,j \neq i}^{n}|a_{ij}|, \forall i =1,2,...,n.$$

通俗地来理解，就是主对角线上的每个元素的模(或者绝对值)都大于该元素所在行的所有元素(除掉它本身)的模(或者绝对值)的总和。

下面给出SDD的几个重要性质。

(SDD的性质)SDD必定是非奇异矩阵。

证明：若$A$为SDD，它不是非奇异矩阵，则$A$至少有一个特征值为0，从而由盖尔金圆定理可知，存在$1\leq i\leq n$,使得$|a_{ii}| \leq \sum\limits_{j=1,j\neq i}^{n}|a_{ij}|.$ 此与SDD的定义矛盾。从而SDD必定是非奇异矩阵。

(SDD的性质)若$A$为SDD，则$Ax=b$有解。

证明：因为$A$为SDD，故$A$可逆，从而$x=A^{-1}b.$

(SDD的性质)若$A$为SDD，则对于方程$Ax=b$, Jacobi迭代法， Gauss-Seidel迭代法，SOR迭代法收敛。

证明：因为我们还没讲到Jacobi迭代法， Gauss-Seidel迭代法，SOR迭代法，因此我们将在之后的博客中给出该性质的证明，敬请期待。