特征向量

　　函数通常作用在数字上，比如函数f作用在x上，结果得到了f(x)。在线性代数中，我们将x扩展到多维，对于Ax来说，矩阵A的作用就像一个函数，输入一个向量x，通过A的作用，得到向量Ax。对多数向量x而言，经过Ax的转换后将得到不同方向的向量，但总有一些特殊的向量，它的方向和Ax方向相同，即Ax平行于x，这些特殊的向量就是特征向量。

　　平行的向量用方程来表示比较简单：

　　其中A是方阵，x≠0。λ是一个系数，被称为特征系数或特征值；x和λx平行，方程的解x就是A的特征向量。

　　这里需要对“方向相同”做出一些特殊的解释，它也包括正好相反的方向和无方向，所以λ的值可以取0或负数。

求解特征向量

　　现在的问题是，给定矩阵A，如果求解A的特征向量？这里没有Ax = b这样的方程，只有Ax=λx，其中λ和x都是未知数，如何求解呢？在解释之前，先看看投影矩阵的特征向量。

投影矩阵的特征向量

　　假设有个一个平面，给定投影矩阵P，投影矩阵的特征向量有哪些？特征值又是什么？

　　这实际上是在回答那些向量的投影和向量本身平行，像下面这样随意投影肯定不行：

　　x在平面的投影是Px，二者的方向不相同，因此图中的x不是P的特征向量。

　　如果x正好在平面上，那么它的投影就是x本身，所以位于平面上的所有向量都是P的特征向量，此时特征值λ=1，Px=x （Ax=λx, A=P, λ=1）。此外，垂直于平面的向量在平面上的投影是零向量，即Px = 0 = 0x （Ax=λx, A=P, λ=0），这相当于特征值λ=0，所以垂直于平面的向量也是P的特征向量。

矩阵的迹

　　再看一个特例：

　　A乘以什么样的向量将得到一个同方向的向量？即A的特征值和特征向量是什么？

　　很容易看出：

　　A还有其它的特征值：

　　上面的答案符合两个关于特征值的性质：

n×n矩阵有n个特征值。
矩阵的所有特征值之和等于该矩阵的主对角线元素之和，这个和数叫做A的迹。

特征方程

　　现在到了面对Ax=λx的时候，弄清楚如何求解λ和x。

　　解决的方法是将λx移到等式左侧：

　　更进一步，可以利用λx = λIx将λ向量化，变成：

　　复习一下零空间，对于Ax = 0来说，如果A的各列是线性无关的，意味着方程组只有一个全零解。把这句话放到新方程中，如果(A-λI) 的各列是线性无关的，意味着只有一个解，x=0。但是特征向量不能是零向量，所以需要新方程还有其它解，这意味着(A-λI) 的各列是线性相关的，即A-λI是一个奇异矩阵。由于奇异矩阵的行列式是0，因此可以得到结论：

　　这就没x什么事了，得到了一个关于λ的方程，该方程叫做特征方程或特征值方程。可以根据特征方程先求解出λ，当然，对于n阶方阵会求出n个λ。知道λ后就容易多了，把每个λ代入(A-λI)x=0，然后找出它的零空间。（关于零空间，可参考《线性代数笔记12——列空间和零空间》）

　　来看一个示例：

　　先求解A的特征值：

　　A的迹是所有特征值之和，它等于主对角线元素之和，这可以用来作为特征值求解的初步验证。接下来求解每个特征值对应的特征向量：

　　容易判断零空间的基是：

　　这也是特征值λ1对应的特征向量，实际上零空间中的所有向量都是λ1对应的特征向量。

　　用同样的方法求出λ2对应的特征向量：

复数特征值

　　值得注意的是，特征值未必是实数，比如下面的矩阵：

　　此时特征值是复数，λ=±i

综合示例

　　召唤一个矩阵A：

　　找出A，A2，A-1的特征值和特征向量。

　　先看简单的，求解A的特征值比较容易：

　　第一列中有两个0，所以将这个行列式以第一列展开：

　　三个特征值之和等于A的主对角元素之和。

　　接下来求解特征值：

　　方程的一组解就是特征向量：

　　接下来求出另外两个特征向量：

　　找出对应的零空间，先化简为行阶梯矩阵：

　　当x3 = 1时，将得到一组特征向量：

　　继续计算λ3的特征向量：

　　当x3 = 1时，将得到一组特征向量：

　　接下来计算A2的特征值，这将是个浩大的工程，我们更想让它变得容易一点，已知Ax=λx，现在将A再左乘一个A变成A2：

　　等式的源头是Ax=λx，假设x是已知的，它已经被求得，因此这个式子告诉我们，如果已知A的特征向量，那么它也是A2的特征向量，只不过特征值换成了λ2。

　　类似地，A-1x也可以做一些演变：

　　A-1的特征值就是1/λ，，它的特征值和A的特征值相同。

　　作者：我是8位的

　　出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

　　本文以学习、研究和分享为主，如需转载，请联系本人，标明作者和出处，非商业用途！

　　扫描二维码关注公众号“我是8位的”

线性代数笔记22——特征值和特征向量相关推荐

线性代数：04 特征值与特征向量 -- 矩阵的相似对角化
本讲义是自己上课所用幻灯片,里面没有详细的推导过程(笔者板书推导)只以大纲的方式来展示课上的内容,以方便大家下来复习. 本章主要介绍特征值与特征向量的知识,前一章我们介绍了线性变换可以把一个向量映射到 ...
线性代数：04 特征值与特征向量 -- 特征值与特征向量
本讲义是自己上课所用幻灯片,里面没有详细的推导过程(笔者板书推导)只以大纲的方式来展示课上的内容,以方便大家下来复习. 本章主要介绍特征值与特征向量的知识,前一章我们介绍了线性变换可以把一个向量映射到 ...
Matlab与线性代数 -- 矩阵的特征值与特征向量
本图文详细介绍了Matlab中求方阵特征值与特征向量的方法.
李永乐线性代数手写笔记-特征值和特征向量
李永乐线性代数基础知识,整理放在博客上面,方便自己复习查看. 概览请移步:李永乐线性代数2020年基础课手写笔记汇总文章目录一特征值和特征向量二相似矩阵三实对称矩阵一特征值和特征向量 ...
线性代数学习笔记——习题课——特征值与特征向量
1.特征值的判定方法 2. 特征向量的判定方法 3. 特征值.特征向量的计算步骤 4. 特征值的计算技巧 5. 特征值与特征向量的性质 6. 示例
2020年李永乐线性代数强化笔记-特征值、特征向量与二次型
文章目录特征值.特征向量 1 特征值.特征向量 2 相似 3 实对称矩阵(施密特正交化) 二次型 1 标准形.规范形 2 正定 3 合同特征值.特征向量 1 特征值.特征向量 2 相似 3 实对称 ...
线性代数学习笔记7-1：特征值、特征向量、特征值的虚实性、迹、相似不变量
特征向量:经历特定线性变换后,只受到伸缩影响的特殊向量首先注意前提:特征值和特征向量,仅针对方阵讨论,因为非方阵不可能满足定义式 A v ⃗ = λ v ⃗ \mathbf A \vec v=\la ...
特征值与特征向量_机器学习和线性代数 - 特征值和特征向量
特征值和特征向量可能是线性代数中最重要的概念之一.从机器学习.量子计算.物理到许多数学和工程的问题,都可以通过找到一个矩阵的特征值和特征向量来解决. 根据定义(标量λ.向量v是特征值.特征向量A): ...
【线性代数】矩阵、向量、行列式、特征值与特征向量（掌握这些概念一篇文章就够了）
在数学领域中,线性代数是一门十分有魅力的学科,首先,它不难学:其次,它能广泛应用于现实生活中:另外,在机器学习越来越被重视的现在,线性代数也能算得上是一个优秀程序员的基本素养吧? 一.线性代数的入门知 ...

线性代数笔记22——特征值和特征向量