生活中的数学（为生活建模）

生活中的数学（为生活建模）
生活中的数学（为生活建模）（二）
生活中的数学（为生活建模）（三）

分布，各种分布

0-1均匀分布

0-1伯努利实验，还记得吧，简单吧，比如投一枚硬币，正面向上记为0，反面向上记为1，fifty—fifty，这是一种特例啦。考虑掷骰子，点数为2的概率，也是伯努利实验，2与非2，对吗。所以，所以什么？伯努利实验不仅能够仿真简单的只有2种结果的硬币，也能仿真具有6个结果的骰子，归根结底它仿真的是非此即彼这一现象，还记得对立事件（本事件的概率不好求，而其对立事件的概率好求时，就转化为其对立事件的求解，再被1减）这一概念吧，也即事件与其对立事件构成全部样本空间 P(A)+P(Ac)=1P(A)+P(A^c)=1，而事件与对立事件恰恰构成伯努利实验。

还记得二项分布的别名叫什么吗，N重伯努利实验，即将伯努利实验重复N次。二项分布似乎也很简单。考虑这样一种情况，掷骰子10次，2出现两次的概率，心算好算吗，并不好算。它其实服从二项分布（n=10, p=1/6），2与非2，10次，随机变量X定义为二出现的次数。

P(X=k|n,p)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=2|10,16)=(102)162568

P(X=k|n,p)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\\ P(X=2|10,\frac16)=\binom{10}2\frac16^2\frac56^8

二项分布及多项分布

五个数，其中两个比5小，3个比五大；
显然是一个二项分布问题（(52)p2(1−p)5−2\binom52 p^2(1-p)^{5-2}）；

二项分布又名 nn重伯努利分布；

一个骰子（均匀六面体标有1-6，标定值域），抛10次（产生10个数），2出现3次的概率是：自然是二项分布（2与非2，抛10次，10重伯努利试验），记随机变量 XX 为2出现的次数，2出现（伯努利试验）的概率为16\frac16，为我们的pp，2不出现的概率为56\frac56，则

p(X=2)=Binom(X=k|n,p)=(nk)pk(1−p)n−k=(102)162568

p(X=2)=Binom(X=k|n,p)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}=\binom {10}2\frac16^2\frac56^8
那我再问，如果最终出现了（1个1，1个2，1个6，2个3，2个4，3个5）（没有顺序），则其发生的概率为？此时对应于，多项分布。

p(n⃗ )=Mult(n⃗ |N,p⃗ )p((1,1,2,2,3,1))=(10(1,1,2,2,3,1))161161162162163161

p(\vec n)=Mult(\vec n|N, \vec p)\\ p((1, 1, 2,2, 3, 1))=\binom{10}{(1,1,2,2,3,1)}\frac16^1\frac16^1\frac16^2\frac16^2\frac16^3\frac16^1
那我接着问，如果最终出现的结果为（6个奇数，1个2,2个4,1个6），则其出现的概率为？

p(n⃗ )=Mult(n⃗ |N,p⃗ )p((6,1,2,1))=(10(6,1,2,1))126161162161

p(\vec n)=Mult(\vec n|N,\vec p)\\ p((6, 1, 2, 1))=\binom{10}{(6, 1, 2, 1)}\frac12^6\frac16^1\frac16^2\frac16^1

我们将掷骰子问题推广到文本建模上来，此时的骰子便不只是6面，假设为 VV面体，不均匀。抛 NN次，产生 NN个词，假如我们关注每个词viv_i的发生次数为 nin_i，那么 n⃗ =(n1,n2,…,nV)\vec n=(n_1,n_2,\ldots,n_V)正好是一个多项分布：

p(n⃗ )=Mult(n⃗ |N,p⃗ )=(Nn⃗ )∏k=1Vpnkk

p(\vec n)=Mult(\vec n|N,\vec p)=\binom N{\vec n}\prod_{k=1}^Vp_k^{n_k}

rating distribution

IMDB 网站上为为2500个剧的打分分布：

样本空间

样本空间（sample space），及其中情况（cases）的概率分布，比如掷骰子的点数，构成的样本空间为 {1,2,3,4,5,6}\{1,2,3,4,5,6\}，概率分布为 {16,16,16,16,16,16}\{\frac16,\frac16,\frac16,\frac16,\frac16,\frac16\}。

联系生活的时候到了，我将之命名为为错误建库。我们说一个有经验的程序员，几乎能在很短的时间内，甚至在第一时间，根据提示，根据问题，锁定bug，解决问题。一个有经验的大夫，也能根据病人的症状，找出病灶，开出药方。

对一个有经验的程序员，一个有经验的大夫而言，有经验指的是什么？指的就是构建了错误，bug，病状的样本空间，这还不够，还差对它们的可能性的评估，也即概率分布，哪种原因更有可能。

组合数（combination）

抛硬币抛两次，两次均为正，两次均为反的情况数均为1，而有正有反的情况数为2。

围棋与三进制

如果把抛硬币多次（或者同时抛多枚硬币，本质是一样的，因为彼此独立）的正（1）反（0），组合在一起就构成的二进制，则骰子如果标识为0-5，则得到了6进制，同理围棋中的每一个位置（19*19=361个位置），无黑白，三种状态自然构成3进制，也即进制与其样本空间的状态数有关（#S\# S）。