生活中的数学（为生活建模）（二）

生活中的数学（为生活建模）
生活中的数学（为生活建模）（二）
生活中的数学（为生活建模）（三）

样本空间大小的计算

所谓等式，即是对一个问题的不同描述；

(n0)+(n1)+⋯+(nn)=(1+1)n=2n

\binom n0+\binom n1+\cdots+\binom nn=(1+1)^n=2^n

0/1背包问题，也即 nn 中商品有取或者不取两种状态，其样本空间大小为，2n2^n，自然也就等以 (n0)+(n1)+⋯+(nn)\binom n0+\binom n1+\cdots+\binom nn

1+2+⋯+1001+2+\cdots+100

数学王子高斯上小学三年级的时候就以一种极快的方法给出了：1+2+⋯+1001+2+\cdots+100 的结果以及计算方法，也即：

1+2+3+⋯+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51)=101×50=5050

\begin{array}{l} 1+2+3+\cdots+98+99+100&=(1+100)+(2+99)+(3+98)+\cdots+(50+51)\\ &=101\times 50=5050 \end{array}
再稍作泛化就是等差数列的前 nn 项和公式：

Sn=(a1+an)n2

S_n=\frac{(a_1+a_n)n}2
高斯的解法是稍微有一些问题（不是说错），如果当时老师问的是1加到99，可能还需解决一些问题。所以一种更为 tricky 的方式，也是等差数列前 nn 项和的求和公式：

Sn=1+2+⋯+99+100S′n=100+99+⋯+2+11+2+⋯+99+100=Sn+S′n2=101×1002

\begin{array}{l} S_n =1+2+\cdots+99+100\\ S'_n=100+99+\cdots+2+1\\ 1+2+\cdots+99+100=\frac{S_n+S_n'}2=\frac{101\times 100}2 \end{array}

黄金分割比

aa+b=baa2−ab−b2=0⇓x=bax2+x−1=0⇓x=5√−12

\frac a{a+b}=\frac ba\\ a^2-ab-b^2=0\\ \Downarrow {x=\frac ba}\\ x^2+x-1=0\\ \Downarrow\\ x=\frac{\sqrt 5-1}2
也即 ba=5√−12\frac ba=\frac{\sqrt 5-1}2，自然 ab=5√+12\frac ab=\frac{\sqrt 5+1}2

鸡兔同笼问题

我们首先给出其数学（初等代数）形式，通常意义下的求解与解释如下：

x+y=152x+4y=40(1)(2)

\begin{split} \begin{array}{lr} x+y=15&(1)\\ 2x+4y=40&\qquad\qquad(2) \end{array} \end{split}

然后 (2)−2×(1)(2)-2\times (1)，首先解得 yy，最后求解 xx。我们首先分析 (2)−2×(1)(2)-2\times (1)可能代表的物理（现实）意义。后来我在微信公众号看到了一种有趣的解释，说让鸡与兔同时抬起一只脚，鸡与兔再同时抬起一只脚，剩下的10只脚，每只兔子还剩2只脚，则有五只兔子。

所谓线性方程组其实是对变量自由度的约束，如果只看一式的话，很容易通过 xx，求得 y=15−xy=15-x，再通过等式，可自然解得 xx（如果有解的话），进而得到 yy，也即两条等式（二元一次方程）组合在一起，其实对变量而言是没有自由度的。

我们再来看其矩阵形式：

Ax=bA|b=[12141540]

Ax=b\\ A|b=\left[ {\begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1&1\\ 2&4 \end{matrix}& \begin{matrix} 15\\ 40 \end{matrix} \end{array}} \right]
方程组有唯一解，也即 R(A|b)=R(Am×n)=nR(A|b)=R(A_{m\times n})=n